微積分學習心得---微積分不是障礙

自小學開始,我對數學幾何的概念就比別人身一層
我的概念恰好與微積分有相同之處,這使我學習起來比較吃香

直線,就是由一堆點連成的
面,就是由一堆互相平行的線堆成的
體,就是由一堆互相平行的面砌成的

於是,我知道三角形的頂點沿著對邊平行移動不會影響其面積
椎體的頂角沿著對面平行移動不會影響其體積

不約而同地,積分就是建立在此觀念上,把所要求的面積切成一堆互相平行的直線,再加起來
而微分,恰好相反,把面積拆成線

一般給初學者的說法:微分是求函數圖形的斜率,積分是求函數圖形下方的面積
微分:原函數 -> 斜率
積分:原函數 -> 面積
其實,這只是幫助想像為積分概念的一個特例,微積分的應用很廣泛;反過來說,這樣也是一個例子
微分:面積 -> 原函數
積分:斜率 -> 原函數

仔細想一想,便能夠瞭解這"兩個"特例的關係
斜率,是原函數的變化率 就是"x變化一點點,y要變化多少"的意思
而原函數,是面積的變化率 原函數的意思是"x變化一點點,下面的面積要變化多少"
因為原函數x向前增加一點點,函數下方所含括的範圍就要增加一點點
反過來:
面積,是原函數的累積量"x有多少,下面含括的面積有多少"
原函數,是斜率的累積量 "x有多少,(由已知的斜率來堆砌'總y量')而知y有多少"

剛開始學習的時候,總是很模糊,不知所措,只能呆呆的看,呆呆的學
尤其我是自學,沒有人指導概念 真正學的幾個月後,才完全瞭解所有符號的意義
下面再做個簡單的描述
dx的意義,簡而言之就是Δx -> 0 趨近於零(無限小)的x變化
而dy / dx 就是當x有很小的變化,所伴隨的y變化 兩者的比值(也可以想像成斜率)
當然,dy也是趨近於零的數同樣是Δy -> 0 只是,dx和dy這兩個"小"數字擺在一起就有特別的意義了
因為dx和dy雖然兩個都很小,但是擺在一起總能"比"出個"高下"
但是dx的平方 和dx就不能比了(為什麼?不是都趨近於零嗎?)原因是:dx的平方比dx還更趨近於0"許多"
這個差別就像人類,細菌,以及病毒 對人類來說,細菌已經夠小了 但是對於細菌而言,病毒還要小得多
如果把人類設為x,細菌就像dx般小,病毒就像dx平方那樣小
人類和人類能比,細菌和細菌能比,病毒和病毒能比 但是不能互相比
對於人類來說,細菌和病毒小到可以忽略,對於細菌來說,病毒小到忽略
所以說:1+dx = 1 就單獨這個方程式而言,正確(因為dx小到能忽略)
以及:dx+dx^2 = dx ,同理
我只能說:就單獨這個方程式而言正確,不代表等號左右"恆等",他們意義不相同,但是就大小而言,他們等價
積分的部分
∫這個符號,和Σ(累加)是差不多的 差別在於∫只告訴你從哪裡加到哪裡,而Σ告訴你"確實的"累加次數
同樣都是設定累加的範圍,但是Σ每加一次,所設定的變數要+1,所以在一個範圍內,累加的次數是"有限的"
而∫每加一次,所設定的變數x要 +dx,注意:dx趨近於零,所以在一個範圍內累加的次數是"無限多次"!
例如我要讓f(x)從x=1加到x=2,每加一次x要加dx,要加多少次dx,x才會從1變成2呢?在你的有生之年是數不完次數的
因為f(x)要累加無限多次,所以通常∫後面會附上一個dx,每次累加的增加量也就會趨近於零
增加量趨近於零,累加無限次後才會是個"有限值",正式寫法為∫f(x)dx
這邊,f(x)和dx的位置可以對調,因為dx只是一個乘數而已,不是甚麼特別又死板的符號,他的意義只是讓增加量趨近於零

我在這邊指出,概念很重要,概念懂了才能將微積分廣泛運用,在上面我只取了一小部份而已,還很多概念呢

微分難在哪?難在那一堆的題型變化,隨便取一個複合的函數就夠你積一整天了
微分和積分之間的運算方式的關係,就像乘法和除法
要解一個除法的時候,我們要把商的數字從0到9一個一個試,把他和除數相乘,並找到一個和被除數相符的商
積分就是如此,把它用微分一個一個試,微分對了,就是找到解了.只是積分要比除法複雜多罷了
微分就和乘法一樣簡單,它有一定的步驟,規則,照著它走就不怕解不出來

幸好,積分的題型在實用方面變化不大,幾種常見的函數早已被人發現其解,不用煩惱解不開
難的題目只在"純數學"方面,舉個例子:求ln(tan(sec(log(cosh(sin(x^x) ) ) ) ) )對x積分
哈哈!好一個超級複合函數,你積得出來也差不多該變成台灣之光了吧!
像這樣,積不出來的怪異函數很多,隨便舉都有,只是,像上面這種怪物在物理學上完全不會碰到,沒有任何意義
純數學就喜歡玩這種"沒意義"的題目,作出來很爽,但完全沒用

要鑽研微積分,可以很深,很遠,但是一般人不需要學那種無意義的函數的積分
瞭解微積分,是很有幫助的,甚至不學,你哪一門科學都學不成,只要碰到數字的
"微積分很難"這句話我認為完全錯誤,難的題目,不會作也沒關係,要是我也不會想理那些"難的題目"
簡單實用的題目,早已經有了模式

微積分對我來說只是一個實用的工具,不是一門學問,更不是一個障礙