此篇是我在學到向量之後，突然起了一些好奇心，到網路上吸取知識後，把自己的理解和猜測整理出來，畢竟不是大學數學或物理系，一些說法看來可能會十分可笑。
（內文參考以下網站文章：
內文統稱以上文章為 見文）
向量是一個新的概念、工具不僅是對於高二下的學生，同時對歷史也是。
在高二上課本，我們首先學到平面向量，它作為推廣到空間向量的一個開始。
平面向量平常看起來，就是一副熟悉的樣子
(a,b)
數對有時只是把幾個數字寫在一起，而平常當做是點座標，但是在向量裡，它作為一種同時表達大小和方向的東西，
我們用它來做加減、係數積（乘以一個常數）、內積，
我們被告知不可以用平面向量來外積，但是可以計算行列式，得出兩個非平行平面向量形成的平行四邊形面積，其實也就是外積的絕對值。
有了向量這工具，就可以更簡單推導出一些公式，
分點公式、三角形重心座標公式、點到直線距離、柯西不等式.....
看起來的確是很好用，不過歷史不是這樣走的。
向量也用在物理，而兩向量和的圖形就有三角形法和平行四邊形法，最為人所知像是用在合力上。這種箭頭表示法其實不是向量發明出來之後才有的，古希臘人就已經會用這種圖形來計算了，向量重要的意義其實是它可以像數字一樣直接進行加減。
歷史演進並不是先有平面向量，之後推廣到三次元空間向量，
廣義一點說，向量或許可以說是從四次元簡化到三次元的。這個歷史和向量前身四元數有關。
歷史上沒有平面向量，那是為了準備學空間向量創造的章節。我們原本用的是更好用的東西，
就是複數。
a＋bi 被推廣成複數平面（橫軸表示實部，縱軸是虛部），它可以拿來加減乘除，甚至當做指數，就和平常的數字一樣，
這些性質完全不是平面向量可以比得上的，平面向量不僅不能做除法，連乘法也很奇怪，更不能當做指數。
比起複數，這看來殘缺不全的平面向量難怪當初沒有人要用，更何況複數有更多美妙的性質和等式也是向量不會有的。
複數之後，有人想把複數推廣成三次元可以用的形式，例如可能是a+bi+cj，但是不成功
直到一個著名事件，William Rowan Hamilton（漢彌爾頓 或翻 哈密頓）一天在一座橋上突然想通，寫出了有四個項的 四元數
u+ai+bj+ck
它表示了一個四次元的量，前面u是純量部，後面i j k虛數部分又叫向量部。
這樣就創造了一個和複數一樣，可以加減乘除，也可以當指數的數字。
但是，它有奇怪的一點，就是它的向量部並不滿足交換律，
![]()
補充
也就是 ij = k 但是 ji = -k ，這叫做反交換律
反交換律在現在的向量外積還留著，另外還有不適用交換律的像是矩陣乘法。
他花了很多年發展各種四元數的性質，最後可惜的是，可能因為它用法太複雜，
把複數加了兩項，複雜性可能增加不只一倍，而且又是在四次元的數字，或許還是需要找到在三次元行得通的東西。
在見文4.5 中，一名叫Peter Tait的物理學家，向著名的James Maxwell（馬克士威）介紹四元數，但是馬克士威並不喜歡（太麻煩了），很多數學和物理學家也是，但是還是在著作中提到，因此讓其他物理學家認識到四元數，並改進了四元數，擷取出向量部，形成空間向量。
向量部的加減沒問題，但是乘法被分成了兩個部分，變成現在的內積和外積
兩個向量部相乘 A = ai+bj+ck 乘以 B = xi+yj+zk
而 ij = k、jk = i、ki = j（不滿足交換律）
因此等於
![]()
後面部分又可以寫成
最後用現在的寫法就是![]()
兩種乘法都出現了，但是最後向量不好看的地方，就是把它拆成內積和外積時，
內積最後沒有出現虛數，也就是純量，兩個向量內積變成了正常的數字，
而且兩種乘法都沒有逆運算，同一個向量和不同的兩個向量可以乘出同一個結果，也就是不會有除法。
我在學向量內外積時，數學老師曾經問過我們一個問題，
內積和外積到底是物理先發明，還是數學先發明?
（這個問題也就是驅使我寫這篇整理的最初原因）
因為向量雖然看來是數學工具，但是和物理也融合得如此的好。
根據見文5，向量一開始或許真的是物理學家發明的，甚至內外積也是為了物理應用而從四元數中拆出來的，這樣就可以解釋它們為何跟物理如此融洽。
而如果真的是如此，那麼應該可以大膽假設，向量一開始只在物理界使用，直到數學界發現這東西後，就交回給數學家，去發展研究向量在純數學上更深的性質。
見文3 提到一個有趣的故事，那就是拉格朗日在1773年就已經把外積的性質都寫出來了，
只是當時並沒有向量概念，純粹只是座標幾何和行列式之間的連結，
也就是只有性質，而沒有特別想要求兩個向量的公垂向量。
外積感覺的確很特別，因為不但它保留了反交換律，而且乘完還是向量，
性質和算法上同時關係到二階行列式、面積、三階行列式，而且三階行列式本身也代表體積。
課本上告訴我們，兩向量A = (a,b,c)、B = (x,y,z)外積的答案(定義)是
課本上為了算出這個答案，用到了克拉瑪公式，和原本就會的內積。
事實上，上面這個向量等價於
往上幾段講到向量部相乘時，曾經也有得出類似上式的樣子
![]()
但是這裡的 i j k 代表的還是四元數的虛數，而上面外積的 i j k 則是單位向量，所以有一個小帽子（Hat）的寫法差別。
而上面等價的式子事實上是一個三階行列式的餘因子降階寫法
所以這就是最後的外積計算式了。
不過三階行列式應該也代表三向量平行六面體的體積，但是我無法想通
![]()
代表的是什麼向量
因為單位向量各自代表(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)，所以這向量是...
這是什麼向量？
而顯然不會是(1,1,1)，因為若是這樣，外積(三階行列式)算出來就會是一個沒用的體積，
是(1,1,1)、A、B形成的六面體體積，而這不是我們想要的東西。
上面講到了餘因子降階這東西，其實這是在學三階行列式時都會學到的東西，是把三階降為二階的算法，不過這東西我想要等之後整理到矩陣乘法時再來講多一點～
物理課本在學到 功 時，都有說過功的定義（甚至數學課本在教內積時，也先講了物理上功的算法）
而當F為固定常數時，可簡化成
最上面的式子同時有積分（路徑積分）和內積，但有趣的是，這兩個東西出現的時間，一個在牛頓(1700年)年代，一個在1870年代。
同時我們可想而知，功的概念和算法肯定在1870年之前就出現了，當時絕對沒有內積這種講法，甚至連向量都還沒出現，
當時的人到底如何用純量和積分來完整定義出功的定義，我目前可能很難知道了。
其實我發現這種事情很多，課本上不會告訴我們一個概念和公式在歷史上如何演變，而教學順序也為了顯得合理而違反歷史發展順序。
在平面向量之後學到的公式，像是一開始提到的四個公式
分點公式、三角形重心座標公式、點到直線距離、柯西不等式
以下就抓分點和柯西來講一下
分點公式本來就可以不用向量來推導，結果和用向量算的是一模一樣，既然純量算得出來（而且一個高中生稍微用直覺寫一下就算完了），這就表示它肯定是一個在向量出現之前廣為人知的公式（我想可能早了好幾百年，甚至千年）。
分點公式（聽說這叫做內分點公式，不過我在學的時候沒有特別分成內外分點）
在平面上（可以多一個 z 座標推廣到空間，也可以少一個 y 座標變成數線）
假設兩個點A(a,b) B(x,y)形成的直線或線段，線上 A B 之間有一個點 P
AP距離 比 PB距離 為 m:n
則 P 點座標為
用向量證明的話，往前一步驟的式子長成下面這樣![]()
一開始我用的是最上面的樣子，後來看到下面這個形式後，我就一直用這個形式，數對和向量使表達和計算更簡潔也更系統化。
這個公式也可以不用向量算出來，有很多種算法，
下面是我的算法，雖然有點缺陷，不過結果是一樣的。
因為二三次元同理，所以下面直接用一次元（數線）來算。
兩個點 A(a) B(x)，P點座標就是
A的座標a，加上AB長度(x-a)乘以AP對AB的長度比例，也就是
經過結合律和通分後，前後對調得到
最後加在一起am會消去得
和一開始的X座標一模一樣
把這結果分別用在空間的三個座標，就可以得出內分點的座標。
我猜想，當初在寫出這個座標計算公式後，或許有人想到要把A和B的點座標用數對寫在一起，這樣整個公式就會更簡潔，但是這在當時只是一個寫法上的技巧，還沒有人知道這種數字乘以點座標的真正數學意涵是什麼。一直到向量出現，這個技巧才得以合理解釋。
不過在我的推導裡有個缺陷，因為AB長度也可以是(a-x)，若這樣結果就會不一樣。
其實或許我應該把(x-a)看做是AB向量；這是我高一時還沒學向量所做的計算，所以無法完美，網路上也有其他的證明法，總之我要表達的就是向量在這公式證明裡並不是最重要的主角。
柯西不等式更為有趣，我們在高二上先學了平面向量後，才教柯西不等式。
柯西(Augustin Louis Cauchy)，1789-1857年。
先假設柯西不等式確實是由柯西發明，而不是紀念性質的命名，
這代表柯西在向量出現(1870年)之前就已經寫出柯西不等式，我目前無從得知他當初是如何得出這個不等式，但是肯定沒有用到向量長度或內積，頂多是幾何和座標，
因此又一個例子顯示課本為了方便教學，將柯西不等式與向量連結在一起，導致現在可能幾乎所有高中生都覺得，柯西不等式完全由向量推導而出。
物理是學生最早接觸到向量的科目，比數學還早，因此在數學真正教到向量之前，我們已經有一個概念，向量是同時有方向和大小的量。
從見文4 5可以推測，電磁學是最早用到向量的地方，這表示，其他地方從運動或動力學到天文學，在1870年之前所有的物理學和數學完全沒有用到向量，甚至連向量這個字都還不是向量（Vector，見文1 裡面是說1840年代），
也就是說，向量是從電磁學開始，擴散到整個物理學和滲透進數學。
電磁學著名的馬克士威方程組，一開始是由20條公式組成，馬克士威雖然已經知道四元數，他先前的一些公式也的確有試過用四元數來表達，但是他在寫這個方程組時還是偏向用 x y z 軸分別表示的方法（維基百科說，其實他也有試過用四元數表達，但沒有成功），
所以20條方程式裡，有18條方程式可以每三條一組合成6條向量方程式，總計8條，
後來由自學成才的英國物理學家黑維塞（Oliver Heaviside）用向量分析的方法重新整理組合，變成現在的四條方程式。
例如裡面的一條方程式（以下資料來自維基百科，可信度不保證，而畢竟我也不是大學物理系，正確性也不保證..）
這條方程式表示不會有磁單極存在。
![]()
原本是一種微分算子，似乎唸作Nabla（那布拉），英文又名Del![]()
叫做散度，它代表一個向量場傾向於源於一點的程度
B 有很多名字，磁通量密度、磁感應強度或直接叫磁場，是一個向量，代表單位面積通過的磁力線數量。
所以，此方程式是指「磁場B源於一點的程度為0」，
我們都知道，磁場是由兩個極組成，磁力線則是連接兩個極的封閉圓圈，因此它沒有傾向於從哪一點發射出來，
否則當N和S極分開後，磁力線就會是從極點往外無限延伸的射線。
我們只是為了方便而訂出磁場方向（磁力線）是由S指向N（南指向北），從N出發繞一圈回到S，所以安培右手定則裡，四隻手指表示環路電流方向，拇指則是指向N的方向，而不是S。
這點電場也一樣，正負電是我們用來分開兩種電荷的標示，而方向也是我們定成從正射到負。
現在連牛頓第二定律這個當初絕不可能用到向量的公式，都已經被向量化
其實這公式原本的版本是
![]()
或是![]()
也就是動量 mv 和衝量 Ft 的關係
牛頓當時有微分（還是他自己發明的），但是絕對沒想到F和P頭上會被加上箭頭，
因此這公式也可以化成數對來計算，像是
用(3,3,3)的力對一個質量3kg的物體施力會造成(1,1,1)的加速度，
這樣就變成向量的係數積了。
但是一般我們確實很少用數對來計算，因為只用純量和一點方向判斷就可以得出答案，
這可能從這公式出現開始就一直這樣做的，直到向量給了我們另一條路，另一種可以同時計算方向和大小的算法。
其他像是 位移、速度、加速度、動量、力矩、角動量、向心力、功的定義 等等
都已經被賦予向量意義，而像力矩和角動量，可以用外積算出，功則是內積，
為何身為後生晚輩的向量可以在不到50年裡佔據整個物理界（我們都聽過，1900年的物理學家以為所有的物理問題都已經被解決，直到量子論出現，雖然這不怎麼代表整個物理界都用了向量），
原因或許是因為，其實物理學家本來就清楚，很多物理量不只需要知道大小，同時方向也需要知道，也就是一個量本身就會有大小和方向，但是當時沒有任何東西可以同時表達計算大小和方向，只能先算出大小，然後判定方向，
我並不知道當時物理界是否有借用複數這種類似向量的數字來用，這也許是一個解決辦法，但是複數始終只能應用在平面，而我相信當時物理界的研究肯定已經超越平面了。
也可能是，當時的電磁學是物理學開創以來，最需要有個東西可以同時有大小和方向的時候，也就是最複雜的難題，所以當時馬克士威找不到東西可以表達他的想法，
因此當向量從四元數被提取出來後，電磁學以至整個物理界終於找到一個東西可以解決一直以來的問題，可以用更精簡的語言表達方程式的意涵，
之後物理學家在研究新問題之餘，也將所有以前的方程式重新修正成用向量表達，
最終物理就成了向量最大宗的使用者，現在所有高中物理課本、講義，全部都寫著向量方程式，彷彿向量這東西是和那些方程式一樣歷史悠久的東西。
另外向量最後也回到了數學界，數學界當時可能也發現了，原本的一些純量等式和計算，居然會和向量計算不謀而合，所以也開始使用向量和推廣向量的性質，現在數學的向量定義有一個向量空間，所有符合定義的均可當做向量處理，甚至是多項式。
而像是高二下點線面的關係和法向量的應用，和各種公式的向量證明，都讓人摸不清楚到底向量是數學界的發明還是物理界的發明。
古人把數學引進物理，讓數學新發現的漣漪也開始會讓物理界出現變動，四元數的發明就是這樣，但經由物理界依照自己需求去蕪存菁後產生的向量，卻逆流回去影響數學，
有時語言也是這樣，經由其他國家改造後的詞彙，也會逆流回本國，進而影響本國人的詞彙使用，日本就是很著名的例子，世界兩大語言，中文和英文，被日本改造後，傳回本國，開始讓本國語言者也會使用這些日本人發明的新詞，或許是因為其他國家的人，因為人文的不同，使用一個語言時的想法會是本國人不會有的想法，因此創造出新奇的詞彙。
這種事情沒有絕對的對錯，知道這些歷史演變也不會讓自己在數學或物理有研究上的突破，
但是向量的歷史如此戲劇性，倒是很適合當做下午茶的話題，展現自己與他人不同的知識。
（一切順利的話，下一篇預定是矩陣乘法的整理～）
創作內容
自己的高中數學整理 -1 - 向量配物理公式的歷史演變
代表的是什麼向量
原本是一種微分算子，似乎唸作Nabla（那布拉），英文又名Del
叫做散度，它代表一個向量場傾向於源於一點的程度
或是
未分類 (23)