原本的解答篇有人說要算賠率不是1:1的情況
所以這篇全部都是數學唷 嗚呼呼呼(?)
假設賠率為 1:t (賭金每1元賭中給你1+t淨賺t元，輸了全部吃掉)
勝率為r
讓我們先按照原本題目給的邏輯計算出錯誤的期望值看看！
假設起始賭金為A
第一次就贏，獎金 (1+t)A，成本A，淨利為tA，機率為r，
第二次就贏，獎金 (1+t)(2A)，成本A+2A，淨利為(2t-1)A，機率為r(1-r)，
第n次才贏，獎金(1+t)[2^(n-1)]A，成本 (2^n -1)A，淨利為{ [2^(n-1)](t-1) +1 }A，機率為 r[(1-r)^(n-1)]
原題目的期望值 = 第k次獲勝時的[淨利*機率]的總和，k從1開始到無限大
= sigma k : {[2^(k-1)](t-1)+1}r[(1-r)^(k-1)]A
= { (t-1)rA } * { sigma k: {[2(1-r)]^(k-1)} + { rA } * {sigma k: { (1-r)^(k-1) } }
其中 sigma k: {[2(1-r)^(k-1)} = 1/(2r-1) ， 成立於 r>1/2
sigma k: {(1-r)^(k-1)} = 1/r，成立於 r>0
因此在 r>1/2的情況下， 期望值 = {(t-1)rA}/(2r-1) + A = [(t+1)r-1]A/(2r-1)
在r <= 1/2的情況下期望值不收斂，也就是期望值是負無限大
在 r>1/2的情況下，期望值會不會大於0與賠率t和勝率r有關係
在賠率 t > (1-r)/r時期望值為正，這時候下去賭就會賺錢
在賠率 t = (1-r)/r時期望值為0，這時候下去賭損益應該是平手的
在賠率 t < (1-r)/r時期望值為負，這時候去賭是會虧的
又因為r至少大於1/2，所以賠率t至少至少要大於1
加上特例t=1時期望值為A
這種必勝賭法最多還是只能在賠率大於等於1的時候使用
不過，別忘了打從一開始其實這個算法就是只考慮一定會贏的情況的錯誤算法 XD
正確的算法還要加上輸的時候的期望值
若賭到第n次的時候輸了，則期望值是 - [(1-r)^n][2^n-1]A
勝利時的期望值則是 sigma k(1->n): {[2^(k-1)](t-1)+1}r[(1-r)^(k-1)]A
= { (t-1)rA } * { sigma k(1->n): {[2(1-r)]^(k-1)} + { rA } * {sigma k(1->n): { (1-r)^(k-1) } }
= (t-1)rA * {[1-[2(1-r)]^n]/(2r-1)} + rA * {[1-(1-r)^n] /r}
期望值總和是勝負相加
= {A/(2r-1)} * { (t-1)[r - r[2(1-r)]^n] + 2r-1 - (2r-1)(1-r)^n - (2r-1)(1-r)^n[2^n-1]A}
= {A/(2r-1)} * { tr - tr[2(1-r)^n] - r + r[2(1-r)^n] -(2r-1)(1-r)^n[2^n+1] }
= {A/(2r-1)} * { tr - (1-r)^n[ (2^n)r - (2r-1)(2^n+1) ]}
這篇文章其實打了很久，因為充滿了討厭的算式所以常常算一算就跑去打LOL了(?)
這次也不例外 所以剩下的下次再整理完吧(也有可能就不整理了XDDDDD)
創作內容
[謎題] [解答延伸] 賭博必勝法
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