在科學的發展史上往往會遇到一個很大的障蔽，若是我們想要突破這障蔽，我們必須發明一種新的工具或是回頭走之前跳過的岔路。而在數學的發展上出現了三次大危機：
第一次：無理數
在高中數學的一開始都會先定義什麼是有理數，只要我們能將某數寫成最簡分數
m/n, (m, n) = 1, n ≠ 0 & m, n為整數
那麼我們即稱此數為有理數。然而在國中時大家也學過畢氏定理
a^2 = b^2 + c^2
在畢氏定理以前，人們都認為數線上只要使用有理數就可以將數線給填滿，換句話說數線上已經沒有空位給你填其他數字了。例如 0 和 1/2 中間我們可以找到 1/3, 1/4, 1/5 ...... 等一堆數，所以這是滿直觀的。但是在畢氏定理出來後，畢達哥拉斯學派中的一個學生發現說 √2 居然不能寫成我們一開始定義的有理數形式，這給了當時的人們震撼的一擊，也道出了光只有有理數是不能將數線填滿的，所以我們必須把無理數給納入才行。
證明：√2為無理數
假設√2為有理數，那麼我們可以寫成
√2=m/n, (m, n) = 1, n ≠ 0 & m, n為整數
m = n√2 --> m^2 = 2n^2
∵m^2 = 2n^2，∴m 必為 2 的倍數。令m = 2p
4p^2 = 2n^2 --> n^2 = 2p^2
∵4p^2 = 2n^2，∴n 必為 2 的倍數。∴ (m, n) = 1 (→←)
∴√2為無理數＃
第二次：極限
芝諾問他的學生 「一支射出的箭是動的還是不動的？」
「那還用說，當然是動的。」
「確實是這樣，在每個人的眼裡它都是動的。可是，這支箭在每一個瞬間裡都有它的位置嗎？」
「有的，老師。」
「在這一瞬間裡，它佔據的空間和它的體積一樣嗎？」
「有確定的位置，又佔據著和自身體積一樣大小的空間。」
「那麼，在這一瞬間裡，這支箭是動的，還是不動的？」
「不動的，老師」
「這一瞬間是不動的，那麼其他瞬間呢？」
「也是不動的，老師」
「所以，射出去的箭是不動的？」
所以射出去的箭到底是動還不動呢？從現實的觀點當然是動的阿，可是對數學家來說這樣是不夠的，我們必須要有一個嚴謹的定義，也就是說我們必須要找出他每一點的順時速率。這個問題在當時其實是很複雜的問題，因為我們要一次同時解決兩個變量：速度與時間。而之後牛頓發明了微積分（當時稱為流數論）解決了這問題，但是因為牛頓使用的定義非常不嚴謹，一下子為零，一下子又不為零，一下又趨近於零。所以在大一的微積分我們通常都會再給他一個更嚴謹的定義：
ε-δ。在此就不繼續說下去，有興趣的請自行點進去看。
第三次：集合
「集合」是把一堆東西收集起來的東西，那集合裡面的東西我們稱為「元素」。
創作內容
三次數學危機
物理 (46)