這回本人開始要深入討論一些圍繞「牛頓第二運動定律」的深入難題。
以往我們做的例子，「力」都是恆定而沒有變化的；但在現實生活中這是不可能的，施加在物體上的「淨力」每一刻都存在著或多或少的變化。
假若施加在物體上的「力」隨著時間增長而增大，那麼我們能否準確計算某一刻施加在物體上的「淨力」，這時就要套入微積分的概念來計算了。
首先來做一條例題:
假設現在有一輛1000 kg的貨櫃車在行駛的途中突然剎車，在2秒的時間內其速度由4 m/s減速至完全停下來，假設速度(v)跟時間的關係為: v(t) = -t^2+4 ，
問題如下:
1) 試找出貨櫃車完全停下的一刻，施加在貨櫃車上的「淨力」
2) 試找出貨櫃車在剎車期間行駛的距離
為了方便各位計算，以下是v(t) = -t^2+4的圖表:
(x軸是時間〔t〕，y軸是速度〔v(t)〕)
1) 試找出貨櫃車完全停下的一刻，施加在貨櫃車上的「淨力」
貨櫃車完全停下的一刻，其速度(v)應該是0，而時間(t)是2秒。
回想「牛頓第二運動定律」的表達公式: 
由於
所以把中的加速度(a)換為 〔dv(t) / dt〕，即是v(t)對t的微分。
中的加速度(a)換為 〔dv(t) / dt〕，即是v(t)對t的微分。為什麼v(t)對t的微分是加速度呢?
因為在物理學上，v-t圖 (速度-時間關係線圖) 的斜率就是加速度(a)。
接著，把v(t)對t微分，得〔dv(t) / dt〕= -2t
所以，當t=2的時候，其斜率是-4；換言之，其加速度是-4 m/s^2。
根據，由於貨櫃車的質量是1000 kg，所以:
，由於貨櫃車的質量是1000 kg，所以:F = (1000)(-4)
F = -4000 N
因此，貨櫃車完全停下的一刻，施加在貨櫃車上的「淨力」是4000 N。
2) 試找出貨櫃車在剎車期間行駛的距離
在物理學上，v-t圖 (速度-時間關係線圖) 函數下方的面積就是位移(s)。
換言之，只要我們找出v(t) = -t^2+4圖表中，由t=0至t=2其間函數下方的面積，就可以找出在剎車期間行駛的距離。
那麼，如何找出函數下方的面積呢? 當然要使用積分了。
位移(s)等於函數v(t)對t、在〔0至t〕區間的積分。
把v(t)=-t^2+4，以及t=0至t=2代入:
s(t) = ∫[0→2]｛-t^2+4｝ｄt
得s(t) = 5.33 m
因此貨櫃車在剎車期間行駛的距離是5.33 m。
不過老實說，物理主要講究概念的，這一類數學性較強的問題不常出現，各位大可以放心。
接下來再談一條例題:
假設一個滑輪把兩件分別4 kg和8 kg懸掛在半空，現在處於自由運動狀態，設摩擦力及其他外力不存在，試求兩件物件的加速度(a)及繩子的張力(T):
處理這類題目，必須緊記三大法則:
1) 兩件物件的加速度相同。
2) 繩子對於兩件物件的張力相同。
3) 質量較大的物件會向下墜；質量較小的物件會受繩子的張力向上拉動。
因為8 kg的物件會向下墜，所以其重量大於繩子的重量 (W > T):
由於
，所以8 kg物件的「淨力」為( mg - T ) N:
，所以8 kg物件的「淨力」為( mg - T ) N:根據:
:mg - T = ma
因為4 kg的物件會向上升，所以其重量小於繩子的重量 (W < T):
由於，所以8 kg物件的「淨力」為( T - mg ) N:
，所以8 kg物件的「淨力」為( T - mg ) N:根據:
:T - mg = ma
由於兩件物件的T、a、g相同，所以:
線性解方程mg - T = ma及T - mg = ma:
(8)(9.8) - T = 8a
T - (4)(9.8) = 4a
78.4 - 8a = T
(78.4 - 8a) - 39.2 = T
a = 3.3 m/s^2
T = 52 N
因此，兩件物件的加速度(a)是3.3 m/s^2，繩子的張力(T)是 52 N。
好了，今回就在這裡結束。
下回本人會用「牛頓第二運動定律」來解釋現實生活中的一些物理現象。
