【提醒：此篇文章是討論「音律」問題的第五篇文章，請您一定要先看完前面的四篇文章再看這篇喔！不然您可能會不懂我在寫什麼。】

（5. 分割聲音的光譜）
（6. 畢達哥拉斯的 Do Re Mi）
（7. 狼來了）
（8. Do-Sol 和 Do-Mi 的戰爭）

在上篇文章，我們提到了畢氏音律中的「Do↔Sol」組合很好聽，但「Do↔Mi」沒那麼好聽。而在大約 16 世紀時，因為音樂漸漸開始需要使用像是「Do↔Mi」這樣的三度音組合，人們就發明出了一種偏好三度音組合的音律系統，我們稱為「中庸全音律」（meantone temperament）。

中庸全音律雖然可以讓「Do↔Mi」的組合變得很好聽，但卻會犧牲「Do↔Sol」的悅耳程度，加上它同樣沒有解決已經存在超過一千年的「狼音」問題，使得作曲家們寫曲時，還是要左閃右躲地避開某些會很難聽的組合。

就沒有辦法讓全部的音都很好聽嗎？

如果你是從前幾篇文章一路看過來的，你應該想問這個問題很久了：「到底是還要多久阿？就沒有辦法一次就讓全部的音的組合都很好聽嗎？」

答案可能會出乎你的意料：「還真的是沒有辦法。」

因為如果你要讓某兩個音的頻率組合形成簡單整數比，勢必就會動到另一個組合，不管你如何調整，你永遠都沒有辦法讓全部的組合都形成完美的簡單整數比。

平均律（或「好脾氣*」）

在中庸全音律以及之前的想法，都是優先照顧一種特定的音程組合，讓那個組合很協和，然後放任其他的組合讓它們很難聽。於是 18 世紀的音樂學家們決定要改變思維，既然沒有辦法讓全部的音程組合都聽起來很協和，那麼我們就來改成讓「所有的組合都只有一點點不協和」吧！如果所有的組合都只有一點點不協和而已，搞不好聽的人根本就不會注意到？

於是所謂的「平均律」（well temperament）就誕生了。「平均律」指的不是特定的一種音律，而是泛指各種「不論彈各種組合、各種調，都不會嚴重不協和」的音律系統。

這些「平均律」，基本上都是用「人為主觀決定」的方式產生的。各個音樂學家用他們覺得好聽的方法，把某個音調高一點點、某個音降低一點點、某些組合協和一點點、某些組合不協和一點點⋯⋯互相橋來橋去，直到所有的組合聽起來「好像」都不會太難聽為止。

其中幾個有名的平均律系統包含：

Kirnberger temperament，由巴赫的學生 Johann Kirnberger 制定的。
Werckmeister temperament，由管風琴家 Andreas Werckmeister 制定的。
Young temperament，由科學家 Thomas Young 制定的。

開根號

雖然以上說的「平均律」，的確可以讓作曲家使用任何一個調的任何一個和弦，都不至於太難聽，但有個一定要特別說明的地方是，這些所謂的「平均律」，根本就不是平均的**。

在這些「平均律」中，每一個音跟下一個音的頻率比例並不是完全相等的，還是會有一些組合好聽一點點、有一些難聽一點點。可是音樂學家們為什麼不讓它們平均分配就好了呢？幹嘛要故意讓有些組合好聽、有些難聽？

他們其實不是故意的，是因為他們不會開根號。要把一個八度分成平均分佈的 12 個音，你必須找到一個數字當作鄰近音的頻率比例，那個數字乘自己 12 次之後，要剛好等於 2。

那個數字就是「2 的 12 次方根」。

當然您只要拿出 iPhone 的計算機一按就可以得到答案了，算算看 2 的 12 次方根是多少？不過對於 17 世紀的人們來說，算出 2 的 12 次方根簡直是比登天還難阿！不過有個厲害的人，他還真的登天了。

算盤神

中國明朝，有個名叫朱載堉（1536-1610）的宅男，他除了是天文學家、物理學家、數學家、音樂家、舞學家、作家、樂器製造師之外，他還是個「算盤神」。他竟然用「81 位數的算盤」，算出了 2 的 12 次方根到小數點後 25 位，也就是真正的「平均律常數」：1.059463094359295264561825。


只要你找一個標準音，把它的頻率乘上這個數字，你就可以得到高半音的頻率，重複這個步驟 12 次，第 13 的音的頻率就會剛好是第 1 個音的兩倍。這就是我們現代使用的、完全平均分配八度成 12 等份的音律系統。

但因為「平均律」這個詞已經被用掉了，所以我們現在把這個真正平均的音律系統稱為「等律」（equal temperament）。等律雖然早在明朝的時候就被朱載堉算出來，但等到它能夠在實際的鍵盤樂器上實作出來，已經是快要 20 世紀的時候的事了。

聽聽看

我現在要彈一首巴赫的三聲部創意曲給您聽，用所有我們在系列文章中提過的音律。試試看您能不能聽出其中細微（或不那麼細微）的差別，也謝謝您收看這五篇充滿數字的文章囉！

畢氏音律（pythagorean tuning）：


中庸全音律（meantone temperament）：


Kirnberger temperament：


Werckmeister temperament：


Young temperament：


等律（equal temperament）：


（Wiwi）


*：平均律（well temperament）的另外一個稱呼是「good temperament」，「temperament」這個字也有「性格、脾氣」的意思，所以才有所謂「好脾氣」之戲稱。

**：所以到底是誰把它翻譯成平均律的阿？我也不知道。