達人專欄這裡亞夜。
昨天介紹了《9、19、29》這個老遊戲。亞夜在找資料時，意外發現國外也有一個叫做《10-20-30》的遊戲。究竟誰比較早，亞夜不知道，但兩者的確滿類似的，就一起研究看看。
【遊戲規則】
準備一副撲克牌，這次只移除掉鬼牌而保留花牌，所以使用 A～K 共 52 張牌，其中 A 代表 1，而花牌代表 10，並且一樣不考慮花色。
將 52 張牌均勻洗牌形成牌庫，拿在手中，並從最上方開始發牌。遊戲最初時要發 4 張牌。這四張牌代表 4 條龍的「起點」。之後，像接龍一樣，在每條龍的最後尾依序補上 1 張牌，如此往復。
像這樣，發 4 張牌作為「龍首」
依序往每條龍身上加牌。
一旦某條龍有 3 張牌以上，就檢視「連續的」3 張牌，如果合計值為 10、20、30 其中一個數，則將這 3 張牌收起來放到牌庫底下。頭尾視為相連，換句話說，頭三、頭二尾一、頭一尾二、尾三這 4 種組合都是要檢視的對象。（不過根據規則，頭三就符合條件的情況下就會先拿走，因此理論上不用檢視頭三）
3 + 3 + 4 = 10、5 + 4 + 1 = 10、3 + 8 + 9 = 20，因此收走。
如果某一條龍只剩 3 張牌且剛好達成條件被收走，即該條龍已完成，那就不需要再管那條龍。之後的發牌都會跳過該條龍。遊戲進行到 4 條龍都完成，或者玩家沒牌可發時結束。
如果遊戲成功完成，那麼剩下的牌一定是 10 或者花牌：
．如果最後一條龍在剩下 4 張牌時收牌，一定是剩下 10 或 花牌 在場上。
．如果最後一條龍在剩下 3 張牌時收牌，則下一張一定是 10 或 花牌。
【嚴格證明】
其實證明方法跟昨天一樣，如法炮製就行。
首先，已知所有的牌只為 1～10 各 4 張（220），再加上 12 張花牌（120），因此 52 張牌的總和點數必然為 340。
接著，把 3 張牌分成一組，而這一組的點數可以是 10、20 或 30。我們假設有 a 組 10、b 組 20、c 組 30，那麼可以得到一個條件：10a + 20b + 30c = α，且 α < 340。
我們還有另一個條件就是：總共為 17 組，換句話說，a + b + c = 17。
所以我們先削去 c，把 c 改寫成：17 - a - b。
於是帶回 α = 10a +20b +30 × ( 17 - a - b ) = 510 - 20a - 10b。
接著計算 340 - α = 340 - 510 + 20a + 10b = 20a + 10b - 170 = 10 × ( 2a + b ) - 170 > 0
因為 a、b、c 都是小於等於 17 的自然數（總共只有 17 組且不能為負數），所以 10 × ( 2a + b ) 必然會是 10 的倍數，且大於 170，所以 10 × ( 2a + b ) 至少是 180，再來就是 190、200……
如果 10 × ( 2a + b ) 是 180，則差值為 10。
如果 10 × ( 2a + b ) 是 190，則差值為 20。但因為單卡最大值僅為 10，所以不可能。
於是剩下的最後一張牌必然是 10 點牌得證。
【數論證明】
α = 340 - ( 10a + 20b + 30c )
其中 1 ≦ α ≦ 10，且 a、b、c ∈ N （N 為「自然數」的集合的意思）
10a + 20b + 30c = 10 × ( a + 2b + 3c )
∵ a、b、c ∈ N
∴ 10 × ( a + 2b + 3c ) 是 10 的倍數 → 改寫為 10m，m ∈ N
於是 α = 340 - 10m，m ∈ N，代入 m = 32、33、34…
若 m = 32，則 α = 340 - 320 = 20，與 1 ≦ α ≦ 10 矛盾，不合
若 m = 33，則 α = 340 - 330 = 10，符合 1 ≦ α ≦ 10 的條件
若 m = 34，則 α = 340 - 340 = 0，與 1 ≦ α ≦ 10 矛盾，不合
若 m < 32，α 會更大，更不合
若 m > 34，α 會更小，一樣更不合
故 α=10 得證。
【變體規則】
如果不將所有花牌都視為 10 點，而是按照慣例視為 J=11；Q=12；K=13，其餘規則不變的話，那最後剩下來的牌會是多少點呢？我們同樣要先列算式：總共的點數是 ( 1 + 13 ) × 13 ÷ 2 × 4 = 364。※等差級數公式
然後一樣，假設有 a 組 10、b 組 20、c 組 30：
→ 364 - 10a + 20b + 30c = α。—— 算式1。並且因為最後只會剩 1 張牌，故 1 ≦ α ≦ 13。
→ a + b + c = 17；c = 17 - a - b。—— 算式2
求 364 - α。
將 算式2 代入 算式1：
α = 364 - 10a - 20b - 30 × (17 - a - b)
= 364 - 10a - 20b - 510 + 30a + 30b
= -146 + 20a + 10b
= 10 × ( 2a + b ) - 146 —— 算式3
∵ 1 ≦ α ≦ 13
∴ 1 ≦ 10 × ( 2a + b ) - 146 ≦ 13 （整個不等式 +146）
→ 147 ≦ 10 × ( 2a + b ) ≦ 159
∵ a、b、c ∈ N
∴ 2a + b ∈ N
→ 2a + b = 15 —— 算式4
（若 2a + b = 14，則 147 ≦ 10 × ( 2a + b ) 不成立（140）；
若 2a + b = 16，則 10 × ( 2a + b ) ≦ 159 不成立（160）；
所以 2a + b 必然只能是 15）
將 算式4 代入 算式3：
α = 10 × ( 2a + b ) - 146 = 150 - 146 = 4
因此最後一張牌必然為 4。
【後記】
誰說桌遊不需要學好數學？
其實玩的話可能不需要完全理解被後的邏輯，只要知道規則就能享受遊戲。但是，如果你是設計師，那數學不好可不行。畢竟這類型的遊戲，如果最後一張牌不是「唯一數」的話就不有趣了。
至此，亞夜算是把這個遊戲給拆解得淋漓盡致了吧？
封面圖片：《私立女僕學園》2012年版特典卡使用卡圖：SP02：進階課程 桌遊課程講師 譚朵 柯歐蕾
