達人專欄這裡亞夜。
以前呢有一款遊戲叫做《9、19、29》，這是一款單人的撲克牌遊戲。在還沒有智慧型手機的時代，亞夜的老爸都靠這個遊戲打發時間，當然也鼓勵亞夜自己試試看。
這個遊戲需要一點運氣，並非必然成功。不過有趣的是，在成功的情況下，結果會是固定的。
【遊戲規則】
準備一副撲克牌，移除掉鬼牌與花牌（J、Q、K），只使用 A～10 共 40 張牌，其中 A 代表 1，並且一概不考慮花色。
將 40 張牌均勻洗牌形成牌庫，拿在手中，並從最上方開始發牌。遊戲最初時要發 4 張牌。這四張牌代表 4 條龍的「起點」。之後，像接龍一樣，在每條龍的最後尾依序補上 1 張牌，如此往復。
像這樣，發 4 張牌作為「龍首」
依序往每條龍身上加牌。
一旦某條龍有 3 張牌以上，就檢視「連續的」3 張牌，如果合計值為 9、19、29 其中一個數，則將這 3 張牌收起來放到牌庫底下。頭尾視為相連，換句話說，頭三、頭二尾一、頭一尾二、尾三這 4 種組合都是要檢視的對象。（不過根據規則，頭三就符合條件的情況下就會先拿走，因此理論上不用檢視頭三）
頭二尾一合計 19，因此收走。
如果某一條龍只剩 3 張牌且剛好達成條件被收走，即該條龍已完成，那就不需要再管那條龍。之後的發牌都會跳過該條龍。遊戲進行到 4 條龍都完成，或者玩家沒牌可發時結束。
如果遊戲成功完成，那麼剩下的牌一定是 3：
．如果最後一條龍在剩下 4 張牌時收牌，一定是剩下 3 在場上。
．如果最後一條龍在剩下 3 張牌時收牌，則下一張一定是 3。
很簡單的單人遊戲，但很打發時間。首先是不一定能成功，再來是要一直進行三數和，對於數學不好的人來說，計算會很花時間。
不過這遊戲最奇妙的地方就是（成功的話）最後一張一定是 3，這一點不覺得很神奇嗎？
【嚴格證明】
因為一共只使用 40 張牌，3 張一組，所以最後必然剩 1 張牌沒問題。但為什麼一定是 3 而不能是別的呢？如果總是如此，那必然可以證明，但要如何證明呢？
首先，已知所有的牌只為 1～10 各 4 張，因此 40 張牌的總和點數必然為 220。
接著，把 3 張牌分成一組，而這一組的點數可以是 9、19 或 29。我們假設有 a 組 9、b 組 19、c 組 29，那麼可以得到一個條件：9a + 19b +29c = α，且 α < 220。
我們還有另一個條件就是：總共為 13 組，換句話說，a + b + c = 13。
所以我們先削去 c，把 c 改寫成：13 - a - b。
於是帶回 α = 9a +19b +29 × ( 13 - a - b ) = 377 - 20a - 10b。
接著計算 220 - α = 220 - 377 + 20a + 10b = 20a + 10b - 157 = 10 × ( 2a + b ) - 157 > 0
因為 a、b、c 都是小於等於 13 的自然數（總共只有 13 組且不能為負數），所以 10 × ( 2a + b ) 必然會是 10 的倍數，且大於 157，所以 10 × ( 2a + b ) 至少是 160，再來就是 170、180……
如果 10 × ( 2a + b ) 是 160，則差值為 3。
如果 10 × ( 2a + b ) 是 170，則差值為 13。但因為單卡最大值僅為 10，所以不可能。
於是剩下的最後一張牌必然是 3 得證。
【數論證明】
α = 220 - ( 9a + 19b +29c )，且 a + b + c = 13
其中 1 ≦ α ≦ 10，且 a、b、c ∈ N （N 為「自然數」的集合的意思）
9a + 19b +29c = ( 10a + 20b + 30c ) - ( a + b + c) = 10 × ( a + 2b + 3c ) - 13
∵ a、b、c ∈ N
∴ 10 × ( a + 2b + 3c ) 是 10 的倍數 → 改寫為 10m，m ∈ N
於是 9a + 19b +29c = 10x - 13 = 10 × ( m - 2 ) + 20 -13 = 10 × ( m - 2 ) + 7
→ α = 220 - 10 × ( m - 2 ) - 7，m ∈ N，代入 m = 22、23、24…
若 m = 22，則 α = 220 - 207 = 13，與 1 ≦ α ≦ 10 矛盾，不合
若 m = 23，則 α = 220 - 217 = 3，符合 1 ≦ α ≦ 10 的條件
若 m = 24，則 α = 220 - 227 = -7，與 1 ≦ α ≦ 10 矛盾，不合
若 m < 22，α 會更大，更不合
若 m > 24，α 會更小，一樣更不合
故 α = 3 得證。
【後記】
其實不管是多少個 9，反正乘以 13 組必然是 10 x + 7 的形式。九三二十七嘛。
而 1 加到 10 是 55，4 組共 220，220 減去 7，個位數必然是 3，因此不可能有例外囉。
以前覺得很神奇，甚至會去想說：如果我一開始就拿走四組 234，牌組裡沒有 3 了，那剩下的牌又會是幾？結論是：這種場合必然無解。以前不懂證明，只會認為自己運氣不好沒成功而已；現在懂證明了，才發現這是必然的結果 www
不過，一旦證明出來，樂趣也全沒了就是（攤手
封面圖片：《私立女僕學園》2012年版特典卡使用卡圖：SP02：進階課程 桌遊課程講師 譚朵 柯歐蕾
