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聊聊作品中的小科學:太空旋轉殖民地 (上) ── 等速率圓周運動

可歪 | 2025-01-23 13:46:44 | 巴幣 232 | 人氣 462


這個專題居然還活著嗎?算算跟上一篇月虹已經相距一個半月了,除了有一些程序 (?) 上的考量以外,會拖這麼久最主要的原因還是,我其實蠻怕觸碰「轉動」這一個主題的。


「轉動」即使被放在普通物理裡面,但它牽涉到的很多概念都很不直觀,像是系統是誰、向心力在幹嘛、加速坐標系怎麼看、離心力存不存在等等,都只能靠想像和數學來說明,如果仍有不清楚的就只好麻煩大家來討論了。


那今天我們就來聊聊這個聽起來很像跑跑卡丁車賽道的題目,「太空旋轉殖民地」吧。






五、「直徑 6.4 公里的太空殖民地,每 113.5 秒就會轉一圈,產生 1G 的離心力。」── 機動戰士鋼彈 GQuuuuuuX  (2025)



這段引言出自《機動戰士鋼彈 GQuuuuuuX 》預告片的中文字幕,不過我不確定原文是不是真的使用了「離心力」這個詞。





總而言之物體在太空中是處於失重狀態的,為了擬造出地球上的重力,科學家於是提出讓殖民地轉動起來的構想,不但可以因此生成重力加速度,還能讓殖民地的居民產生向心力。


那這次想要看看的問題就是,在失重的太空機構裡面,有沒有可能單靠旋轉就讓人「黏」在壁面上呢?







◎ 等速率圓周運動


從頭來講講等速率圓周運動好了,因為我相信很多人都是直接背公式的。等速率圓周運動顧名思義,就是一個物體沿著一個圓形的軌跡,在各個時間點的各個位置,都用相同的「速率」在移動。(應該不用解釋速度跟速率的差別了吧?)


我們知道移動中的物體如果不受外力作用,那它就會沿著直線等速度移動,反之今天它不是等速度直線移動時,它就受到外力作用。顯然圓周運動始終受到外力作用,那這個外力的方向跟大小是什麼?




假設紅點沿著圓周作逆時針方向旋轉的等速率圓周運動,速率為 V ,則在某個跟水平方向夾角為 θ 的位置,它在水平跟垂直方向的速度分別是 Vx = -V sin θ,Vy = V cos θ,Vx 的負號表示指向左邊。


為了找出向心加速度,我們可以直接把速度對時間作微分,在這之前我們需要知道 θ 跟時間 t 的關係。


已知圓周長是 2πR,轉一圈的週期是 T = 2πR / V;既然轉一整圈 (徑度 2π) 的時間是 T,那麼只轉 θ 的時間就可以用比例來計算:2π / T = θ / t ,因此 θ = 2π t / T = V t / R。我們把 θ 用這個時間的函數代換掉,就可以對速度進行微分了:



首先看方向,Vx 微分後與原本同號,所以跟原本定義的方向一樣;Vy 微分則多出負號,所以方向與原本相反。表示成向量的話可以發現方向指向了圓心,而這個量值就是:


     (向心加速度)



也就是大家所熟悉的(應該吧)公式了。那算這個要幹嘛?因為引言不是說了嗎:「直徑 6.4 公里的太空殖民地,每 113.5 秒就會轉一圈,產生 1G 的離心力。」



所以算出來的確是 1G 沒有錯。







◎ 滾筒式殖民地


現在我們已經知道,向心加速度只跟旋轉體的半徑 R 和旋轉週期 T 有關,所以這邊我們先稍微來看一下殖民地的形狀:如果要讓大家都有同樣的向心加速度 g,那麼殖民地必須是圓柱體,而非球體。


要解釋這個也不複雜,你可以想見地球每自轉一圈時赤道上的一點和北極附近的一點所走的距離是不一樣的,即使它們都繞著自轉軸旋轉了一圈;當你站在轉軸上時,也就是 R = 0 的時候其實是不受向心力的。









◎ 所以只寫這樣要幹嘛?(中場休息)


嗯對,這個主題當然還沒有走完,不過我想先停在這裡一下,因為後面就要聊到那個很麻煩的「離心力」了。今天我們簡單回顧了等速率圓周運動,所以真正完成的事情只有跟大家說到引言的數字是怎麼來的,並且各位也可以用來設計自己殖民地的大小跟轉速。


不過上面的計算其實傳達了一個最重要的觀念,就是當你真的跟著殖民地一起旋轉的時候,其實只受到「向心」方向的淨合力而已。有興趣的大家或許可以想想看,我能不能用一個不是向心力的淨合力,比方說始終沿著圓周方向拉著一個東西,來讓物體作等速率圓周運動?







創作回應

空澗飛湍
讚喔!^^
2025-01-25 00:27:03
可歪
謝謝^^
2025-01-25 13:10:58

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