主題達人專欄

被遺忘的定理-正切定理

霧島悠樹 | 2024-07-08 23:58:45 | 巴幣 3452 | 人氣 2798

被遺忘的定理-正切定理

在高中數學中的三角比單元，大家都知道正弦定理還有餘弦定理，其名字對應的正是sin 與 cos，那做為第三個重要的三角比tan ，沒人懷疑有沒有一個其對應正切定理嗎？

實際上是有的。1580年左右，法國數學家弗朗索瓦·維埃塔 (又譯韋達)（法語：FrançoisViète；拉丁語：Franciscus Vieta；1540年－1603年12月13日）在其著作《應用於三角形的數學法則》中提出正切定理。可惜現今的教科書幾乎看不見此定理，被世人遺忘了。

(好好欣賞吧！)

正切定理：對於任意的三角形ABC，其對應邊為a,b,c 則有

關於和差化積詳情可以看我之前的文章：為什麼要學「積化和差，和差化積」

得證明！與正弦、餘弦定理一樣，在描述三角形的邊角關係。

這應該是最簡潔的證明過程了，試問有無其他證明方法嗎？

(千萬別認真，絕對不能這樣做！想想上述過程犯了哪些錯誤？)

那麼這個定理又有什麼用呢？可能會覺得，這看起來不就是有點複雜？要知道三角形的兩個邊跟對應的兩個角，才能代入此方程式？這樣好在哪裡？

維基百科上也只說明「在沒有計算機的輔助求解三角形時，這定理可比餘弦定理更容易利用對數來運算投影等問題。」

(https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AD%A3%E5%88%87%E5%AE%9A%E7%90%86)

實際上是如何呢！？這公式怎麼可能比餘弦定理還好用？

就在此解說正切定理真正的使用法！

解說原理以及用法：

所以這個定理告訴我們，已知三角形的任意兩邊以其夾角，即可求其三角形之另外兩角，也就是能確定此三角形！

也就是SAS的情況，我們必定能夠唯一確定此三角形，雖然現在通常都用餘弦定理來解，但如果在那個沒有計算機的時代，我們允許使用對數表、查表等技術的話，正切定理將會更好用。(至少在算出三角形的三內角會更快)

這邊使用常用對數(底數為10)，來做式子的解說，兩邊同取對數，並用對數律展開

實際操作：

那麼來實際操作看看，來重現當年是如何計算，如何應用的！為何在那個年代使用上會比餘弦定理較好？真的有比較好用？

為了符合實際需求，數字將不特別設計過，覺得數字很醜很正常

首先考慮這個三角形：∆ABC ，已知a=13.77 ,b=12.32 ,∠C=81.4°

求∠A ,∠B

都四捨五入到小數第四位再進行運算，中間計算的細節我就不多敘述了，有些不是查表看看就好，還要多少會log的基本運算、內插法、角度單位換算(十進位換成分、秒單位)、tan的角度換算等。(當然或許也有更強大的表可以查、或是當年有不同的數學工具進行運算也說不定) 要精確一定要用更多細節，但我上面基本上就查個近似值就用，(連內插法都省了)以體現查表的快速

而這是用GGB軟體所繪製的圖，和軟體所表示的近似角度，基本上非常接近，到小數第二位才有誤差，這還只是我隨便查表；不用內插法、不特別去計算的結果就如此接近，有足夠的信心相信這個正切定理是很有用的

假設用的是餘弦定理呢？

當然可以算，可是不好算，在那個沒有計算機的年代，要求人手算這樣龐大的數字將是個大難關，而且這還只是求出第三邊而已，要求得兩角，還必須再另外用兩次餘弦定理，在進行查表的動作，反觀正切定理，只要做簡單的加減和查表即可解決！

這就是正切定理為何比餘弦定理還好用的地方了！

既然存在，為何不教呢？

為什麼現在不學了？被遺忘了？

上面演示了在那個年代，使用對數查表來應用正切定理將會比餘弦定理還要實用，那麼為何現代的高中數學課本都沒寫上去？不，甚至是一般大學理工科系同學，可能都不知道這個定理？

原因很簡單，因為隨著計算機的問世，餘弦定理的計算問題將不是問題，只要把數據輸入，即可很快速的求得，而正切定理使用上較不直觀，學習上、證明上可能都比餘弦定理還要難，就算用計算機，多數人必定都傾向餘弦定理(可以很快地求出第三邊，另外兩角也只是再用餘弦定理而已) 而且查表有的誤差會大於計算機的使用上的誤差。更別說108課綱已經把查表這項技術刪掉了。相信未來的學生不會知道甚麼是查表、什麼是對數表、三角函數值表...

可以說是時代的不同、使用工具的不同，不同定理也受到不同的重用。

定理本身並沒有錯，只是不適合這個時代了。