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霧島簡評 新型學測試辦考試 數學A & 數學B

霧島悠樹 | 2021-09-21 19:21:01 | 巴幣 1344 | 人氣 613


霧島簡評新型學測試辦考試 數學A & 數學B

110年的指考數甲都過了一段時間(7/29),原本想說要不要寫看看詳解,但看來似乎沒那麼難,或是說沒那麼有話題性,沒那種獨創特別的題目,而且網路上也不少人做了詳解,先作罷,其實更大的原因是當時蠻忙的,還請多包涵。

而明年度111年的學測,將會是108新課綱的首次學測,大考中心為了讓應屆高中生適應新型的學測,在9月1至3日舉辦新型學測試辦考試,考試範圍是各科新型學測範圍,原本的學測數學也分為數學A、數學B兩科。可以當作模擬考來做參考。

關於數學A、數學B兩科的差異建議自己去查查,可以看國教署的這份資料。可以想成「數學A為自然組、數學B為社會組的數學」,雖然課綱不這麼寫,但其實很接近了,還要注意就算是同單元,兩者的學習內容也不太一樣,也並非是數學B包含於數學A的這種關係。


寫了一下本次的新型學測試辦考試,才覺得有趣,本文就簡單分析這次的新型學測試辦考試試辦,高中生可以當作參考,看看未來的學測會變怎樣。為未來108課綱首次的數學大考做準備。

非高中生也歡迎看看,多關心一下數學吧

題目皆為大考中心提供,選擇題答案也可以去那邊對。


準備開始動動腦,來到數學世界囉



數A

說真的,比我預期得還要難,我就挑幾題略難的或是有特殊之處的來講,其餘的我想大多數人都有能力寫才對。真的有問題再來討論。


像單選5,這個旋轉壽司的題目就蠻有意思

為一個排列組合的題目,是我認為本次考試的難題,坦白說我錯這題...
不妨將壽司分為A1 , A2 , B1, B2......J1 , J2   ,A~J十種口味,用下標1,2區分兩個
每種壽司都至少被拿一盤,所以可以想成最後剩的是「A1, B1, C1...J1,這十盤中的各種組合」
所以組合數為
這是原本的想法,不過這是錯的,這沒有考慮到甲乙丙三人拿取的情況,這只是壽司剩下的結果可能數而已,我想不少人可能也會這樣寫錯。

真正的作法是:
考慮每一種壽司有兩盤,每種壽司都至少有人拿一盤,所以可能是被拿走一盤,或是兩盤都被拿走
1.拿走一盤:可能是甲乙丙三人其中一人拿的,有3種可能
2.兩盤都被拿走:因為每種壽司每個人只能拿一盤,所以只能是兩人各拿一盤,可能是甲乙、乙丙、丙甲,三種情況,也是3種可能

這樣3+3=6,每一種壽司被拿取就有6種可能,全部10種,那就是6^10  。
這才是考慮到三人拿取的狀況。感覺題目的用詞可以再精進,這樣寫蠻容易誤會的。


而單選6,這很明顯是要畫圖來解的,畫出兩個三角函數的圖形,看有幾個交點

畫完可發現有四個交點

其中sin(2x)+cos(2x) = √2sin(2x+π/4)
這是正餘弦的疊合,疊合好後再畫圖,注意有伸縮又有平移,如何將兩個函數圖畫好,這部份可能是容易錯的部分
注意正餘弦的疊合放到高二,是學測的範圍,而非像以前一樣是高三選修數學的內容




多選7是簡單的統計圖表的題目,但我覺得有點出不好就是
好比選項(3)、(4) 要算標準差與平均數,可是圖上所對應的數都沒標示清楚,當然或許就是要用目測的來看,但難免有爭議

(3)要算標準差,可以發現所有資料都介於10~13,14之間,標準差是一定小於3的,原因在於資料愈分散,標準差愈大,資料愈集中,標準差愈小,而且標準差會介於0~平均數之間
(4)要算平均數,這就有點勉強了,雖然大概可以看圖去對應到每個資料的數值,再去算。不過出題者希望的做法應該是:以15為標準畫一條水平線,發現其他資料大約呈現「以15為對稱軸」的情況,所以判斷平均數的整數為15。但會有點小爭議,可能會造成誤判,進而答錯。



選填題的部分,大概就選填17最有難度,其餘基本上是還好
先試著畫一個正四面體,在藉由題目給的向量內積的條件,得出AE會與AB、AC都垂直,
我用GGB簡單畫個示意圖:
「A點在原點,B點在y軸上、C點位於xy平面上」的正四面體,令D點在xy平面上方,如此一來座標都可算出來,而這樣設的好處是E點必然會是處於z軸下方,E的座標必為(0,0,-a)之形式,其中a為一正實數,可自行設,而這邊為了方便就令AE=AB,a為正四面體之邊長。

將坐標軸與平面都去掉,得到的圖形:這樣看應該比較清楚一點,也比較有概念
這邊為了計算上的方便,(不要出現分數),就將正四面體的邊長設為6,  (當然你想要用其他正數也可以)

我們可以架設座標,中間的計算過程請自己算吧,可以去看看空間概念的單元
算出ED向量,即可求ED長,三角形ADE三邊都有,cos∠DAE便可由餘弦定理求出:
                              



不過這好像有點複雜,中間計算過程也沒那麼簡單,還要代入餘弦定理做最後計算。

其實cos∠DAE也可以用內積公式去算,這個方法不用管DE的情況,再計算上化簡了很多。

然而,難道就沒有別的方法了嗎?沒有更快的方法了嗎?

其實是有的!
將立體圖轉個方向,可以觀察到,其∠DAE=AD與xy平面的夾角 再加上 一直角
正是正四面體任一邊 (AD) 與頂點所在之平面 (ABC所構成的平面) 之夾角  

那我們可以放到平面座標軸上,E點在正x軸,可隨意設

那麼要求cos∠DAE 便很簡單了

這個做法,非常簡單,非常漂亮,完全省去上面那些繁雜的計算
很考驗空間與幾何的觀念,展現了數學的精神,由不同做法切入,都可以得到一樣的結果。



而最後的混合題,混合題也是個全新的東西,其實就是題組中混合了選擇題與非選擇題,難度也循序漸進。反正多了手寫題,以後學測可不像以前全都可以猜了。


這邊我就三題一起講吧
18.很單純代點去算,得到關係式即可,19.再代個直線上另外一點,去解聯立即可

真正比較困難的是第20,要去說明其變換後的長度比例為定值。
用代數的做法為以下:

然而這題換個想法,將其矩陣視為旋轉矩陣來做:
作法二:

我想這可能才是大考中心期望的做法吧。到時再來看看大考中心的參考解答是如何做的。


這邊也可發現混合題三題是從簡單到困難的,跟國中會考的非選擇題蠻類似的作法。讓人從簡單的做起,跟著題目做,將有所收穫,程度不同的人也會寫出不同的結果,像有人不會證明最後一題,但只要知道線性變換,便可以做前兩題。算是出得不錯。

整張考卷難度是有的,各單元也都有涉及到;數與式、指對數、多項式、直線方程式、圓、排列組合、機率與統計、三角函數、平面向量、空間向量、空間中的直線與平面、矩陣等。考得很扎實,用到不少觀念,很不錯。

硬要說的話對數的比重太少,僅出現在第一題而已。再來就是空間的部分偏多,單選4、多選12、選填17,依照歷屆數據這邊會是學生出錯率偏高的單元,真的這樣考,應該很多人會錯這些。而若算上三角與向量的題目的話,這張考卷的幾何部分還真佔不少。

而三次多項式也很因應新課綱出現了(多選8),新制度出現的新題目,猜未來應該會出一題吧。

想必到時考這樣的話,一定會引起軒然大波。老實說我都覺得明年這樣出,到時是不是會抱怨「108首次數學大考太難了」,當然也相信本屆高三生的表現吧,搞不好新課綱的高中生學習狀況優秀,表現優良反應在學測也說不定。



數B

數B倒是就簡單很多了,也真的因應新課綱做出調整,多了新的東西(,但基本上難度是頗平易近人的,我就不多說,挑一題我認為有趣且有深度的來講。

正是單選7:



乍看之下會覺得無從下手,只能憑直覺判斷,多數人直覺大概會選(4) 某兩條平行直線的一部份
但真的是這樣嗎?數學是講究思考與證據的,憑感覺最容易出錯。

再想一想,好好讀題目會發現「這個水杯並非圓柱,而是圓錐的一部份」,擺起來是斜的,所以這兩條線並非平行線,可能會有交點,所以應該選(5)某兩條相交直線的一部份,這會是一部分人的想法。

想到這邊會發現這題可能沒那麼簡單,然而這都不是正解。

這其實要考的是圓錐曲線的定義,圓錐的截痕:「一個直圓錐面和一個平面的截痕」
通常比較數學的語言來定義這個直圓錐面是說,有一條中心軸L,和一條母線M,L與M相交一點,但不垂直,將中心軸L固定,而母線M繞L旋轉一圈,則旋轉而成的曲面,即為直圓錐面。
而一個平面E,位置不同與傾斜程度的差異,使平面與直圓錐面有不同的截痕,產生不同的圖形。

想像一下:飲料杯可視為直圓錐面的一部份,而水面即為平面,這樣的模型便是「一個直圓錐面和一個平面」的情況,再來要想,會有怎樣的截痕?

將這個飲料杯擺放在水平桌面上,水面會和桌面平行,而飲料杯與桌面相交處為一直線,此直線會與水面平行,也就是,平面與圓錐的母線平行,截痕便為拋物線」


這邊就用網路上的資源做分享,不妨實際去操作看看:  
打上圓錐曲線 GGB 就有很多可以用了,也感謝製作這些教材的老師們



而題目的飲料杯大概就像這種情況,藍線為水面


我覺得這題出得非常漂亮,用簡單生活化的情境去考到圓錐曲線的概念。頗讓人意想不到的。沒有繁雜的方程式,也可考出圓錐曲線。

看似簡單,背後的觀念卻非常深入。有趣又不失深度,展現了數學素養,實在是一題好題!

基本上我覺得最有趣就屬這題,其餘我覺得大多還好。平常的訓練可能就做過的題目也不少。

注意:
圓錐曲線成了數B才有的部分,數甲看不到了,像這單選7
三次多項式一樣因應新課綱出現了,在多選10,這點與數A一樣
經緯度與球面座標也是數B才有的新內容,在多選12



總結:
雖然這是試辦考試只是參考用,但我想如果明年就真的這樣考,肯定會引起不小的話題,先猜標題:「108新課綱,學測數學A超難!」  之類的吧...

說實在,本次數A還蠻像是110學測的風格,或是說110學測數學正是當作新制度的實驗吧,難度真的不簡單:數字不再那麼漂亮,計算量不小,這點接近指考數甲,當然也不用那麼害怕,我還是認為學測是更簡單的,畢竟範圍更少、時間更多。當然明年開始指考改為分科測驗了,也不知道會變怎樣,真不知道明年就這樣考出來會如何,我想大考中心也會參考這次高中生考完的數據在做決定吧。

而數B部分難度相對而言就比數A低了不少,與數A的關係就如同指考數甲與數乙,不過看來數B純觀念跟判斷的比重更高了,大概就是所謂的「素養」吧。

整體而言,我認為大考改成這樣是好的,第一點:分成數A與數B,讓學生分流,不用都學同一套,有想要精進數學的、未來科系有相關的就選擇數A,而對數學沒那麼大興趣,未來科系也不那麼重視數學的就選擇數B。第二點:增加了手寫題的部分,也是我覺得好的改動,數學還是要動手寫,評鑑學生手寫數學的能力與素養,永遠都是選擇與填充,恐怕不少人都只是為了考試而去練數學,學了考試技巧,但手寫的能力偏弱,缺乏數學素養。

分流與手寫題是我覺得好的部分,當然,108新課綱在數學部分還有許多地方值得檢討與改進。學習的內容、學習目標、單元的安排、計算機教學等等 這些不少都值得討論,這有機會再說吧。說實在數學教育這明明是很重要的事情,關注度與其他社會議題相比卻好像很低...

本次考試就當作參考即可,考不好也沒差,知錯能改,慢慢進步,數學之路永無止境。

當然有問題都可好好交流討論~
感謝你的閱讀,有什麼問題都歡迎指教。有什麼意見都說,有誤的地方請大聲斥責。還請多多關照。



最後讓我自推之前發的文的,不時發數學文、一些心得文等


創作回應

嘟嘟嚕熊貓
怎麼半我一題都不會寫
2021-09-21 21:19:46
霧島悠樹
有這麼慘?
2021-09-21 22:34:01
混分仔
明明才剛考完指考 還是覺得難
2021-09-22 22:19:33
霧島悠樹
是考數甲? 那你考得還好嗎?
這張確實不簡單,但應該不會比今年數甲難吧
2021-09-23 02:19:41
混分仔
數甲 ,我覺得我考得很棒 題目我沒有很認真看 但就這篇來說 我覺得題目都蠻具有巧思的
2021-09-23 08:46:14
霧島悠樹
不錯,有幾題確實蠻有巧思的,我特別拿出來講而已
2021-09-23 10:42:06

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