交換環就是可以進行加減乘(沒有除)的集合，加法封閉、可以交換、有單位元、所有人都有加法反元素、先算後算沒差，乘法封閉、可以交換、先算後算沒差，不過不保證有反元素跟單位元，以及加法跟乘法有分配率。
常用數體都是交換環，有理、實、複係數多項式都是環。
多項式環是(我)比較常討論的交換環，複係數多項式的基本運算性質基本上就剛好滿足交換環的定義，加法很好(符合常識)、乘法雖然不是最好的但通常也都習慣了(有乘法單位元但沒有反元素)
一個交換環上的理想是一種特殊的集合，這個集合對於該交換環上的加法成一個群，而任何環內的元素與理想內的元素作用的結果均會落在理想內。
作為一個例子，首先整數集Z配上尋常的加法與乘法是個環，其上有一個理想：n的倍數(包含負倍數)，可以發現任何整數乘上n的倍數會是n的倍數、而n的倍數自身也是一個群。而且，整數環上如果有理想那一定都是某個數的倍數集，沒有其他種理想(其他理想可以分解成這種形式的理想的聯集)。所以其實給定一個整數n就決定了一個理想nZ={ nz ∈ z | z∈Z }
所有以複數w為根的複係數單變數多項式是個理想，而且這個理想裡的所有多項式都可以因式分解出一個(x-w)，而且任何多項式乘上x-w都是這個理想內的元素，所以其實這個理想可以寫成(x-w)C[x]
其中C[x]代表複係數多項式
這裡有個定理：如果你的交換環R有乘法單位元，反正如果你的環的性質足夠好，那麼其上的每個理想(如果你不計較那種可以分解的理想)都可以寫成aR的形式，a是R內的某個東西。
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創作內容
關於環與理想
世界的惡，代數幾何 (25)