主題

RE:從零開始的代數幾何

你有沒有嘗試過登出? | 2021-05-03 19:18:52 | 巴幣 2 | 人氣 41

一個代數閉體上k的n維仿射空間就是向量空間k^n,不服來辯。


當n=1時這個空間稱為仿射線、n=2時稱為仿射面。


令F是一個k上的n元多項式,這個多項式可能會有一些零點,這些零點所成的集合寫作Z(F);如果S是很多個多項式的集合,那Z(S)代表的是這些多項式的公共零點集。


對於k^n的子集Y,如果存在多項式集合S使得Y=Z(S),就稱Y為代數簇。也就是說,如果Y剛好是一些n元多項式的零點,那糾就把Y稱為代數簇。


這裡有個定理:任何代數簇Y,都存在有限個多項式,使得Y是這有限多個多項式的零點。
意思是,如果原本有個代數簇Y是用無限多個多項式的公共零點定義的,那麼這個定理告訴我們,那無限多個多項式可以只選有限個來定義Y。


如果I是一個由S生成的理想(在多項式環內),那麼Z(I)=Z(S),由此可見一個代數簇會對應到一些理想。


這裡可以把Z(.)想成是一個把多項式集合對應到代數簇的一種函數。


如果F跟G是多項式,那麼Z(FG)=Z(F)Z(G)。另外,k^n中的有限集合都是代數簇。


可以證明,代數簇的任意交集、有限連集都還是代數簇,空集跟整個空間k^n也都是代數簇,因此把k^n上的每個代數簇看成閉集,k^n會變成拓樸空間(扎里斯基拓撲)。


對於k^n的子集X,我們蒐集那些在X上取值為0的多項式,記做I(X),他會是一個多項式環內的理想。這裡一樣可以把I(.)想成是一種函數,他把k^n的子集對應到理想。


有些代數簇可以表示成其他比較小的代數簇的聯集,但也會有一些代數簇不能表示成其他代數簇的聯集,這種代數簇稱為仿射代數簇(簡稱仿射)。


這裡有兩個定理:
一個代數簇Y是仿射簇當且僅當I(Y)是質環。
所有代數簇Y都可以表示成有限個仿射簇V_1、V_2、...、V_m的聯集,而且如果你限制每個仿射簇都不能包含其他仿射簇,那麼這個表示還是唯一的。以下只考慮唯一表示。





為了讓大家更有感覺,我們考慮仿射平面k^2。這個空間內的所有仿射簇就只有k^2、空集、單點集、以及由一個二元不可分多項式F定義的代數簇。一個多項式不可分的意思就是沒有辦法再因式分解。





參考:Hartshorne Algebraic Geometry(難到炸裂)、Fulton Algebraic Curves(非常友善,我看得懂,文字訊息量很剛好,習題就算不會做也都很有感覺。)
專有名詞依照代數幾何本書的翻譯。



創作回應

數學佬
2021-05-03 23:44:09

相關創作

更多創作