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ZeroJudge - b537: 分數運算-1 解題心得

Not In My Back Yard | 2021-03-30 23:06:24 | 巴幣 0 | 人氣 23

題目連結:


題目大意:
定義一個函數 f,其
f(1) = 1;
f(k) = 1 + f(k ÷ 2) ,當 k 為偶數時;
f(k) = 1 ÷ f(k - 1) ,當 k 為奇數時。

輸入有多列,每列給定兩正整數 a 、 b(1 ≦ a 、 b ≦ 60),試問當 k 值為多少時,f(k) 之值 = a ÷ b?



範例輸入:
1 1
2 1
1 2
3 1
1 3
3 2
2 3
4 1
1 4
4 3
30 11


範例輸出:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
236


解題思維:
我們可以觀察到:
當 k 為奇數時,f(k) 之值 ≦ 1;當 k 為偶數時,f(k) > 1。

因此,當我們看到一個分數 a ÷ b 時,我們雖然不知道此時的 k 值為多少,但是我們可以藉由判斷 a 與 b 的大小關係而得知奇偶性。

以 4 ÷ 3 來說:
因為 4 > 3,所以 f(k) = 4 ÷ 3 的 k 值為偶數,因此可以推得 f(k) 來自於 1 + f(k1)(k1 = k ÷ 2),所以 f(k1) = 1 ÷ 3;

因為 1 < 3,所以 f(k1) = 1 ÷ 3 的 k1 為奇數,因此 f(k1) = 1 ÷ f(k2)(k2 = k1 - 1),所以 f(k2) = 3 ÷ 1;

因為 3 > 1,所以 f(k2) = 3 ÷ 1 的 k2 為偶數,因此 f(k2) = 1 + f(k3)(k3 = k2 ÷ 2),所以 f(k3) = 2 ÷ 1;

因為 2 > 1,所以 f(k3) = 2 ÷ 1 的 k3 為偶數,因此 f(k3) = 1 + f(k4)(k4 = k3 ÷ 2),所以 f(k4) = 1 ÷ 1;

而因為 1 = 1,所以我們已經退回到 f(1) 了(根據函數 f 之定義),所以我們從此步驟往回推,可以推得:
k4 = 1
k3 = k4 × 2 = 2
k2 = k3 × 2 = 4
k1 = k2 + 1 = 5
k = k1 × 2 = 10
因此 f(10) = 4 ÷ 3。

而其他 a ÷ b 之值也是同理,且就算 a 、 b 不互質也沒關係,只要當 a = b 時,就代表我們已經遞迴到 f(1) 了(只有 f(1) 是分子等於分母)。而那些各種 k 值之遞迴資訊可以使用堆疊(Stack)去存。或是直接使用遞迴的架構去寫如下:
F(x, y):
  當 x = y 時,回傳 1;
  當 x > y 時,回傳 F(a - b, b) × 2;
  當 x < y 時,回傳 F(b, a) + 1;
而呼叫 F(a, b) 即可求得答案(因為遞迴的基本架構即是堆疊)。



而需要注意的是,可以看到當 k = 2 ^ n (n ≧ 0)時,f(k) = (n + 1) ÷ 1,因為 a 、 b 最大到 60 ,所以可以出現 60 、 1 這種輸入,而此時的 k 值為
576,460,752,303,423,488
很明顯地會超過 C/C++ 之 int 整數(32 位元有號整數)型態,因此請記得使用 long long 型態(64 位元有號整數)儲存。




此次分享到此為止,如有任何更加簡潔的想法或是有說明不清楚之地方,也煩請各位大大撥冗討論。

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