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傅立葉變換產生的疑問,我們的三角函數是不是少了一個維度?

Absinthe | 2021-03-29 21:07:16 | 巴幣 0 | 人氣 165

今天仔細探究了傅立葉變換,這影片真好~然而......
(鳩都嬤得~ 開始歐北共之前先把我今天的學習心得記錄一下~~)
筆記:
1. 無線電波、聲波的傳遞雖然都會說是由一堆 sine、cosine 波組成,但本質上就是一種波,這種波八成也不是真的旋轉前進,傅立葉分析會拿 sine、cosine、phase 單純是恰巧可以擬合波的頻域跟時域以及描述波的週期變化
2. phase這個維度其實跟時間是很有關係的,應該說任何有週期性的東西都跟我們定義的時間有關,例如最初的鐘擺有週期性、彈簧伸縮有週期性、圓形時鐘周而復始、簡協運動、太陽升降、四季變化、人的心跳、蟲子的鳴叫......只要有週期性其實就跟時間有關,那波的相位變換、角度變換其實就是暗示時間軸,因為波的相位其實就是「每單位時間之相位角變化」
3. 數個頻率可以組成各式各樣的波,或說可以用各種螺旋形狀來表示,把這立體螺旋映射在平面上就是圓的轉動,在把圓的週期變化映射在一條線上,就變成了波。映射在 cos() 軸與 phase 構成的平面空間就是實部,映射在 sin() 軸與 phase 構成的平面空間就是虛部。
4. 傅立葉變換其實可以想成傅立葉「級數」,只是頻域上有許多頻率的係數 (震幅) 是零,就好比人很想聲講話,他的確有發出頻率但你聽不到以為沒聲音。  傅立葉級數跟傅立葉變換是不同的

(以下開始亂亂講)
我在想,sine波、cosine波之所以正交,應該是因為當初平面三角函數就是取「斜邊分之對邊」與「斜邊分支鄰邊」的比值,若把週期波擬合在圓上恰好能用這兩個函數還說明波的週期變化,三角函數的斜邊就相當於波的振幅。
所以斜邊對圓而言應視為常數,所以剩下的變數其實是對邊、鄰邊,而這兩個向量在直角坐標系上本來就是垂直、是互相正交的,因此sine波、cosine波才會是正交。
問題來了,我們的世界明明是三維的,所以我們應該要學立體三角函數才對,怎麼只學了平面?
如果我們知道第三個維度的三角函數,那波的傳遞就可以變成四維的了,我們能得到第三個正交的弦波,如此一來是否就能使訊號傳播速率再提升一個世代?

(慢跑時的胡思亂想)

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