主題 達人專欄

霧島簡評110學測數學

霧島悠樹 | 2021-01-26 04:56:50 | 巴幣 2788 | 人氣 1962


前幾天(1/23)呢,一年一度的學測數學(學科能力測驗數學科)終於又來了!
許多人(不管是新聞媒體、補教業的名師、學生等)都說本次110年度的學測數學是『史上最難』、『99課綱有史以來最難的一次』那到底是多難呢?真的有那麼誇張嗎?

我不想隨波逐流,要真的自己去看、自己去體會,才好下評論,這邊簡單評論一下各題目,較簡單的題目講一下解法就差不多了,相信大家自己算即可,這文著重在有點難度或是值得講的細節上。

本人非專業人士,有問題都可以說,有更好的解法歡迎提出。

不論是本屆考生,還是未來要應考的高中生、已經高中畢業的大學生、甚至出社會的人們都可以看看,都應該多少了解一下本次的學測數學,了解一下簡單在哪、難在哪、考了什麼,希望不要只是聽聞他人的討論結果而人云亦云的相信了。

(希望考生們寫完後,能夠自信滿滿的說出這樣的話XD)


題目在這,點開來看看吧

第壹部分:選擇題
一、單選題
1.(2)
矩陣自乘兩次即可算出
很簡單的第一題,基本算送分的

2. (1)

相鄰兩項,都有一數是另一數的兩倍,代表選定一數,另一數不是兩倍就是一半,而給了a1,其他項便可推出有幾種可能,然後注意每一項都必須大於1,小於1的就不寫

所以a5只有3個可能
算是排列組合加上對數的題目吧,用到窮舉的概念,還有對數的取值,有難度但好好寫應當不難的,出得還不錯


3. (3)
基本上就初等幾何加上三角函數的角度換算,但可能不少人忘了國中學的圓周角=所對應弧之圓心角的一半」,國中數學不能忘啊,算是偏簡單的一題


4.(5)
1.代數字、2.行列式(用向量表示或是用座標表示都可) 、3.外積 (視為空間向量來做)
自己挑一個做,課本上就有的基本題,屬於很簡單的一題

5.(4)
依照題意可以列式,接著代x=0,-1 可把式子中的未知數解出來

多項式函數的單元,除法原理與對多項式的理解與活用是關鍵,中偏上的難度

6.(5)

依題目架好座標和畫圖,這邊要注意「正六角形四個點與橢圓是否相交?」
因為正六角形是對稱圖形,將任一點代入橢圓方程式中,依照>1 or =1 or <1 來判斷即可,
所以發現四點皆在橢圓外,但還沒完,要判斷B點y座標是否高過橢圓的頂點的部分,經由兩邊平方比較後,有,發現橢圓半短軸>B點y座標,才可確定BCEF點都交橢圓兩個點,共八點。最後的y軸這邊沒檢查的話,其實是有可能交4或6個點的。

也可用橢圓的定義來判斷,「橢圓上任一點到兩焦點距離和為定值(2a=8)」,若距離和大於8代表點在橢圓外部,算出來會發現B點在橢圓的外部,後續還是一樣的手法。

用GGB將圖畫出來會是這樣
考上許多細節,有意思的好題目,應該不少人沒這樣判斷就依照直覺選了。


個人認為單選就5、6這兩題算難,以6最難,其餘都屬簡單與中間程度的題目。


二、多選題
7.(2) (3) (4)
條件機率的題目,好好看懂題目,搞清楚樣本空間與事件為何,接著就好好計算,感覺沒什麼特別好講的,算多選中比較簡單的一題

8.(3) (5)
(1) (2)  把圖畫好就知道A的對應點A'(-3, -4) ,這條直線斜率為 4/3 ,所以這兩個選項都錯
(3) 試著將B C點畫出來,既然BC兩點都在圓上,長度與半徑相同,連線OB,OC,會發現三角形OBC為一正三角形,發現向量BC平行向量OA,內錯角相等,有∠AOC=∠OCB=60度,三角形AOC也是正三角形(實際上這邊可以作一個圓內接正六角形了)
(4) 三角形ABC面積=三角形BOC面積,算這個邊長為5的正三角形面積即可
(5) 估計一下直線L與X軸的夾角,會發現點BC均在同一象限

考蠻多觀念的,平面向量、直線與圓、初等幾何等

9.(2) (3) (4)

依照題意可以列出甲乙兩位候選人的選票分別為甲:0.4x+0.55y  ,乙:0.6x+0.45y    
五個選項都在問能否決定當選人,也就是要判斷是否一數大於另一數?」,那麼將兩式相減就是兩位候選人的票數差距,這邊就拿乙的票數減去甲的票數好了,有:0.2x-0.1y  即為票數差距。
為了後面的計算方便,同乘上10,得到2x-y,再根據五個選項的條件分別判斷2x-y是否大於0還是小於0

(1) x+y已知,就只是知道總有效票數而已,沒意義,就好比我們知道總投票數是多少,又不知道誰當選
(2) x/y < 1/2 有 2x<y,那麼2x-y<y-y=0,可以決定當選人
(3) x>y,有2x-y>2y-y=y>0,可以決定當選人
(4)可列式 0.4x>0.55y 化簡為 8x>11y,有4(2x-y)=8x-4y>11y-4y=7y>0,可以決定當選人
(5)可列式 0.45y>0.6x 化簡為 3y>4x,有2(2x-y)=4x-2y<3y-2y=y,只知道 2x-y<y/2而已,無法判斷與0的關係,故無法決定當選人

結合投票議題的生活化題目,別再說數學沒用了,算選票都不會,要怎麼知道誰贏誰輸?,引述名言『票多的贏,票少的輸』但是數學不好,連誰票多、誰票少都不知道,都不會算!

應該屬於數與式、不等式的單元吧,其實放在國中也無違和就是了。

10.  (1) (2)

(1) (2) (3)三角形的內角都介於0~180度之間,其角度與cos值一對一對應,給定cos值便可知其角度,便可想成給定兩邊與一角可否決定一三角形,其實這三個選項就是國中數學的SAS、SSA條件能否決定三角形的判斷而已,將圖畫出來會比較好想,所以(3)畫出來會有兩個可能,故無法決定唯一三角形

(4)知道三角形面積,可想成知道sinA,然而在三角形內角介於0~180度之間,角度並非與sin值一對一對應,所以無法決定唯一三角形

(5)提到外接圓半徑就想到用正弦定理:
也就能推得sinB=3/R,sinC=2/R,有sinB>sinC
那驗證∠B和∠C是否有兩種可能,不難想像在∠B和∠C皆為銳角時確實可能
然而若∠B為鈍角呢?有180°-∠B>∠C,sin(180°-∠B)=sinB>sinC是符合的
但若換成∠C是鈍角的情況:有180°-∠C>∠B,sin(180°-∠C)=sinC>sinB,不符合
不過因為有∠B可有兩種可能,所以無法決定唯一三角形

中規中矩的一題,考驗考生的觀念。之前的學測還是指考也有類似的題目就是了。


11.  (1) (2) (5)

根據題意應該可以畫出這樣的梯形:
上面這圖只是示意用,不妨令BC=x、AD=x+1  ,
這邊在CD邊上取一點E,使得AE=BC,ABCE即為等腰梯形,
(1)看圖得知∠A>∠B
(2)有180°=∠A+∠D>∠B+∠D
(3)∠ABC是直角或是銳角,這在梯形也是可能的,所以此選項錯
(4)再畫另一個圖
在CD邊上取一點E,使AE平行BC,ABCE即為平行四邊形
看上圖的三角形ADE,BC=2=AE,由題意知道DE=5、AD=3,三角形ADE也就成了一個三邊長為2、3、5的三角形,三角形任兩邊長和必大於第三邊,這明顯不合理。 (也可用畢氏定理證明)

(5)如果∠C>=90°,內積CB.CD<=0 ,因此只須考慮∠C<90° 的情況  (下為示意圖)
在CD邊上取E與F,使AE垂直CD,BF垂直CD,
內積CB.CD即為CB在CD上的投影長乘上CD的長度,也就是CFxCD,只要找出CF的範圍即可判斷
令CB=x、CF=y、ED=5-y
由高相等,可列式
解出12=x+5y,因為x>y,所以12=x+5y>y+5y=6y,2>y=CF
發現CF必小於2,因此內積CB.CD=CFxCD=15y<30


考的觀念非常多,初等幾何、平面向量、內積都考上了,如何想出解法,是不太容易的。

(你以為這題就這樣結束了嗎?)
想一想這題的梯形到底長怎樣?是否可以構造出來?是否有其他觀點?
其實此題還隱藏了一個雙曲線,如果我們用雙曲線的觀點,將可以構造出題目要的梯形!
首先,想到雙曲線的定義:到兩焦點距離差為定值的動點軌跡」,想到BC=x、AD=x+1,即可發現AD-BC=1,這個就是關鍵,梯形的兩腰長相減為一個定值,可以將這兩腰長視為雙曲線上一點到兩焦點的連線段長。

再看一下上面的示意圖:
因為BC=AE,根據上面的推論,AE與AD將是「雙曲線上一點到兩焦點的連線段長」,現在「A點正是雙曲線上的任一點,而D與E就是雙曲線的兩焦點!」

因為DE=5,兩焦點距離=5,還有點到兩焦點距離差距離差為1,代表2c=5、2a=1,由這些數據我們已經可以構造出此雙曲線了,根據定義算出b=√6,也就是「貫軸長為1,共軛軸長為2√6的雙曲線」,方便起見,將中心點設為(0,0),開口左右型。便可寫出雙曲線的方程式:
A為此雙曲線上的動點,(取一邊就好)
兩焦點E( 2.5 , 0)、D(-2.5 , 0), C(12.5 , 0) , B=A座標+(10 , 0)
將這些輸入GGB,可以畫出:

自行調整A點,便可以得到任意符合此敘述的梯形
由此觀點來想的話不僅(1) (2) (3),(4) (5)也能很快地解出來
(4) BC=2的判斷,要盡可能地讓BC小,也就是A點往頂點靠攏,也會發現頂點與焦點距離為2,代表BC>2
(5)同上,既然BC大於2,內積CB.CD<15x2=30

個人認為屬於這張考卷很難的一題。能想到這招更是厲害。


12. (2) (5)

(1) 在沒任何限制下,2黑2白3紅 做直線排列,相同物的直線排列,排列數為
事件A:2黑相鄰綁在一起視為一物,排列數為,所以P(A)=2/7
事件B:2黑不相鄰,為事件A的餘事件,所以P(B)=1-P(A)=5/7
P(A)<P(B)

(2) 任2紅球都不相鄰,將2黑2白做直線排列後,之間的5個空隙取3個插入3個紅球,即可達到任2紅球都不相鄰
排列數有:
所以P(C)=2/7

(3) (4) (5) 依照條件機率的公式寫下:
重點便是算出
用上面同樣的觀點,
便可算出代入去算(3),此題結束

大多數人的做法應該是這樣,然而將(3)放在(4) (5) 前面,不覺得怪怪的嗎?  照上面的作法,我們算完(3),也就確定了(4)(5),一般來說,多選題多少會有誘導性質,會發現後面的選項是前面選項的結論,照順序作答是合理,也是出題者期望的。

這邊提供一個想法,事件A與事件B兩個將原本的樣本空間做了分割,現在將事件C取代原本的樣本空間,皆會與事件A與事件B有交集,可以寫下:
可在不去計算的情況下,直接得證
而(4)還是要算,但直接代入上式後,可以很快地得到P(C|B)=8/25 ,這會是個更快的作法,實際上這是考我們「貝式定理」樣本空間分割的關係式

此題看起來很複雜,估計答對率不高,但其實就是排列組合的基本功,這種相鄰、不相鄰的題目其實不就是直線排列那邊的基本題型嗎?再結合條件機率的觀點一起考而已,冷靜下來好好寫吧,可能看到題目敘述可都慌了、怕了就寫不下去了。也算難題了。


13.(2) (3) (5)

(1)兩者首相係數皆為正數,圖形畫出來後,看出必有交點
(2)因為f(0)f(1) < 0 < f(0)f(2),根據正負來判斷f(1)f(2)<1,根據勘根定理知道(0,1) 、(1,2)這兩個區間都有實根,而實係數三次多項式只能是三實根或一實根二虛根,由此判斷此方程式必有三相異實根
(3)虛根成對,必有1+3i , 1-3i 這兩個根,設p為使f(x)=0 的一實根,便有:
既然乘出後的常數項為有理數,那p必為有理數

最後(4) (5)選項看起來是蠻難的,但其實也不用想太複雜,不妨這樣想:
(4)要使f(1), f(2), f(3), f(4)為等差數列,可以想成(1, f(1)) ,(2, f(2)) , (3, f(3)) , (4, f(4)) 這四點形成一直線
問題便可轉換成直線與三次有理數多項式有幾個解」,畫圖判斷最快,至多三解,不可能有四個解,所以不存在。

(5)要使f(1), f(2), f(3), f(4)為等比數列,可以想成(1, f(1)) ,(2, f(2)) , (3, f(3)) , (4, f(4)) 這四點形成一指數函數
問題便可轉換成指數函數與三次有理數多項式有幾個解」,畫圖判斷可以發現四個解是可能的,所以此選項是對的。

另外一個想法是「拉格朗日差值多項式」,直接令首相f(1)=d,公比為r,此為通過四點:的三次多項式。(d,r皆為有理數)
可以寫出:
會發現各項係數皆為有理數,領導係數為1這點只要整個函數同乘上某個數即可使其領導係數為1,代表此三次多項式式真的存在的。

(雖然我傾向這樣畫圖解會比較快啦,但這確認了這樣的三次多項式是真的存在的!)

經典的多項式函數多選題,算難的一題,勘根定理、虛根成對、有理根判別、等等觀念都考了,甚至讓這拉格朗日插值法重回江湖了,的確比較像指考的題目,下一屆學測再也看不到了,這題也算是為多項式函數在學測的最後光芒了吧。


多選題看下來真的是難了點,幾乎每一題都要花點時間好好思考作答,以9、11、12、13這幾題較難,有許多細節需要好好思考,用上許多觀念,考得蠻細的,其中11與13是我認為最難的兩題,估計多選題答對率不高。


第二部分:選填題

A. 37
非常送分的一題,其實放在國中甚至是國小也無違和,與去年109的選填A一樣,佛心來的送分,應該是人人都要會的題目才對。

B.  x-6y+4z=0
兩直線的直線向量做外積得到平面的法向量,再將L1任一點代入平面方程式求得常數項,此題即完成
這也是課本就有的範例題了,應屬偏簡單的題目

C.  1/14
基本上要窮舉,注意是取相異三數的乘積為完全平方數,所以5、7可以直接不考慮了,也找不到其他數字有5、7,相乘絕對無法湊出5和7之倍數的完全平方數
就將完全平方數一個一個列出來找吧,會有這幾個可能:
16=1*2*8
36=2*3*6=1*4*9             (有兩個可能,都要考慮到)
64=2*4*8
144=3*6*8
可能僅有6個,而全部的可能為C9取3=84,機率為6/84=1/14  
排列組合與機率的題目,蠻活的一題,出得不錯

D.  
將正方形畫出來後,想想指數函數的圖形,變動a,那會有什麼變化?
不難發現,若a為正,a越大、圖形將越靠左,a為負就只是將此圖形對稱於x軸而已
所以最大的a,會使圖形過(-1,3),最小的a,會使圖形過(-1,-1)

用GGB畫出來的圖
算是考學生是否了解指數函數之圖形的性質吧,頗有鑑別度的。我認為中間偏難

E.  (m,n) = (2, 56)
很常見的取對數題目,感覺沒特別可以說的,甚至log7之值也有附,沒有要人背,實在不難
(小心這邊不是問幾位數,只是問n而已,不要題目做習慣了寫n+1)
中間偏簡單的一題

F. 8+4√2
看懂題目,把圖畫出來後會發現是一個正八角星形,邊長為1,每個凸角皆為直角,這樣應該就很簡單了,難在可能看不懂敘述吧,但實則是有心去做便可答對的題目,需要一點幾何概念就是了。


G. 4√2
又是空間的題目擔任最後一題,把圖簡單畫好,了解要求什麼,一步一步慢慢求出即可
會發現三角形ABC、三角形BCD皆為等腰三角形,在BC上找中點E,有AE垂直BC、DE垂直BC,
「D到平面ABC的距離」即為「三角形ADE中AE邊上的高之長度」
看你要用面積去算還是畢氏定理都可。

這邊提供一個更快的想法:
用餘弦定理求出BC=8√2,會發現三角形BCD為一等腰直角三角形。
A做到平面BCD的投影點G,因為AB=AC=AD,所以投影點G到B,C,D也是等距離,也就是說投影點G為三角形BCD的外心,而三角形BCD是等腰直角三角形,所以點G會在斜邊中點,也就是說「平面ABC與平面BCD是垂直的」!

那麼「D到平面ABC的距離」就是「DG長」,也就是「等腰直角三角形BCD斜邊長的一半」
也就是8√2/2=4√2  !

原本一題看似困難的空間概念的題目,這樣便轉化成簡單的一題了。

不過考試的當下應該很少人想到這招就是了...
猜這題答對率應該蠻低的,歷年來空間概念的題目答對率都低,一來是學生對於空間概念的理解本身就比較差,二來是計算多,而且放在最後一題,很多人已經沒心去寫了吧。

選填看下來倒沒多選難,有簡單有難,大多屬於中間等級的題目,以C、D、G較難,




或許是難了點,對社會組學生和中後段的學生很不友善吧,前段學生應該就覺得還好了。

實際上分析看來,也非如此困難就是了,而且送分題、簡單的題目依然存在,平時會做過的題目也有,就那幾題比較難而已,說是『史上最難』是有點超過了。

個人覺得近年最難的還是106,或是說兩次考試難的地方不一樣吧,本次還有兩三題送分的(單選1,4,選填1),那次可沒有,而不少題目認真想也都不難,但我會覺得這次是出的更好的,有簡單有難,各單元多少都有著墨,細節很多,考得觀念很深入,比起106重計算,這次更重觀念與理解,相當考驗學生扎實的數學觀念。懂與不懂、會與不會分得一清二楚,對前段學生的鑑別度蠻高的,當然中後段的學生可能就死一片了,

還有幾何題意外的多,單選3、6、多選8、10、11、選填B、F、G,共8題,不少題目都用上國中幾何觀念,會覺得這麼難的原因大概也是因為這些國中數學的觀念都忘得差不多了。但這算是學生的先備知識,是應該要會的,考出來不能怪誰。

在批判難度之餘,我認為好好欣賞這樣的題目才是,會發現真的考了許多細節,坦白說我覺得出得很精彩,文內提到的作法與觀點有些也是看他人討論才知道還可以這樣做的,一題可以用多種解法來解組是漂亮的,將高一到高二的數學精華集中在這一考試中,作為高中邁向大學路上的試煉實為厲害,非常有挑戰性,毫無疑問,此試卷會成為數學歷史的一部分吧,其中的難題更是會成為未來的經典。

作為99課綱的最後一次學測,也算是功成身退了吧,未來大概看不到像多選13題那樣多項式函數的多選,因為新課綱就要上路了,某些題目未來永遠不會出現在學測了,這也算是他們最後閃耀的舞台了。

考不好也不用太灰心,不要放棄數學,數學不會背叛你,考不好也不代表什麼,數學之路永無止境,表現不好不代表數學不好,數學不好不代表就要放棄數學,況且不論是社會組、自然組都用同一份考卷來區別高下,其實是不妥的,還是希望未來108課綱能往更好的方向邁進。

最後還是想跟新聞媒體說,不要只會在那邊說『史上最難』、『考生崩潰』...  每次不是最難就最簡單,有空下這種標題,是不會多討論數學題目嗎?用到什麼數學定理、哪些巧思與技巧都是值得好好報導與討論的,這樣危言聳聽實在不是一件好事,人們也應該多點獨立思考的能力,我們學數學就是要理性思考、講求證據與理性,不應該因為報導說是怎樣就相信是怎樣,靠自己的力量去判斷,靠自己去思考吧!


冷靜面對,沉著以待,發揮出平常有的實力就好了,會的寫,不會的慢慢想,考試若能發揮出平常的實力就很好了,多數人都緊張、心態崩了,導致沒發揮出平常實力以至於失常,撇除那些難題不看,還是不少題目是平常會練習到的,不要自己嚇自己,發揮應有的水準,將自己的數學實力展現出來才是。

最後感謝你的閱讀。


原本想說打個簡評,沒想到打著打著就越打越多了,第一次用達人專欄發文看看,第一次用達人專欄發文就是數學文啊XD
有什麼問題都歡迎指教。有什麼意見都說,有誤的地方請大聲斥責。還請多多關照。

希望對社會大眾能有點幫助;想要數學更強的人、喜歡數學的人、學不好數學的人、對學校中的數學沒興趣的人、覺得數學沒用的人、覺得數學無聊的人...  都可看看。


數學是很有趣的。


之前寫的數學文章也歡迎看看:


創作回應

我不是丁守中
現在才看到0.0 明年也換我的說 XD 只能說新聞有些誇大不實了 然後以自己的的程度看下來 觀念部分可能還是要再加強ㄅ 可能解題的速度就會快一些
2021-01-28 00:19:08
霧島悠樹
自己看過還好判斷是不是那麼難,實際上還是有送分跟基本題的,沒那麼嚇人
2021-01-28 16:30:29
霧島悠樹
然後明年是108課綱的第一屆,應該會有點不一樣,多小心吧
2021-01-28 16:30:52
生きるほうが…戦いだ
我是不懂普通高中職數學那麼深是能幹嘛 我大學畢業一堆相關知識除了應付考是外根本沒在用 其中數學更是如此... 對於普通人來說會基本加減乘除就夠了
2021-01-28 04:33:49
霧島悠樹
看科系,很多科系是真的會用到的,不排除有些內容是真的沒什麼用到,但多數還是為了大學做準備的,再說這也不算多深的數學
2021-01-28 16:32:52
草莓少女嬌嬌
哥的數學都拿來計算投報率跟期望值惹QQ
2021-02-06 00:09:06
霧島悠樹
聽起來蠻厲害的,看來你是走商科的? 不會是精算師吧!?
2021-02-06 02:46:26
草莓少女嬌嬌
運用在業餘炒股
2021-02-06 02:48:17
霧島悠樹
這麼厲害...受小的一拜
2021-02-06 03:15:28
別忘了我
了不起,看到簽名檔才知道,有人完整解析學測數學。
感覺你也可以轉行補教業數學科。
2021-03-07 19:33:39
霧島悠樹
謝稱讚,其實網路上也不少人分析啦,只是我還是想寫一篇發表我的看法,提供不同觀點,補教業看看囉,沒那麼強@@
2021-03-08 00:18:48

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