Ｑ：最近知道的一個有趣事實，冥冥之中物理時空和數學的聯繫，問題是，給定一個topological manifold M,
可以構造出多少種diffeomorphism等價的smooth (C∞) manifold? 換言之，
給你一個manifold，我們能裝備幾種微分結構上去這個manifold？
再回答問題前我想先重新review definition（半嚴謹，一些邊緣條件我就忽略了），
如果已經懂問題了可以直接跳到最下面看答案。這裡我預先假設讀者有拓樸學基礎，
topological manifold (M,O)就是大家熟悉的manifold沒什麼好說，
局部每一個open set看起來像是R^d的 topological space。
如下圖用x映射麵團表面的一小塊u到R^2上, x(u) 。
注意到這個映射是被要求是homeomorphism的(u, u^-1連續)。
注意到這個映射是被要求是homeomorphism的(u, u^-1連續)。
然後我們進一步定義terminology, chart (u,x)和atlas A，假設M是地球，
簡單的說charts就是局部一小塊open set，而每個chart都還有個伴隨的x可以把u送到R^d,
簡單的說charts就是局部一小塊open set，而每個chart都還有個伴隨的x可以把u送到R^d,
所以每個chart都可以寫成(u, x), （其實也就是上面manifold的定義），
atlas A就是一堆charts的集合, charts拼起來的必須覆蓋全地球M。
如下圖，注意到這個概念和現實的地圖很像，我們不可能無撕裂把地球攤平成一張地圖，
但我們可以把地球分成很多小區塊，變成局部地圖，每張局部地圖都可以攤平在R^2上做成一本地圖冊。
這裡就要注意到同個空間M中的座標轉換了，我們叫他chart transition map，
當兩個不同的chart, (u, x), (v, y)有重疊的部分時，u, v 各自被x和y映射到R^d中u(x), v(y)。
但因為映射方式的不同，會有不同的'coordinate'在R^d。所以我們有個座標轉換如下圖。
注意到這個chart transition map是保證連續的 (homework, why?)
好了，我們再來想要怎麼定義微分的概念在流型(manifold)上ϕ:M->N
M, N都是一個topological manifold， 看下圖，
關鍵概念就是我們是用y º ϕ º x^-1的微分概念去定義出ϕ的微分概念的，
M, N都是一個topological manifold， 看下圖，
關鍵概念就是我們是用y º ϕ º x^-1的微分概念去定義出ϕ的微分概念的，
首先p在M，被chart(u,x)往下送R^m。ϕ(p) 在N，被chart(v, y)也往下送R^n，我們希望透過看
y º ϕ º x^-1 這個map：R^m->R^n微分概念，進一步推到，ϕ流型上的微分概念。
這裡我們有興趣的主要是smooth function (C-infinity)。
但注意到，這裡會有個問題，我們的定義必須是well-defined的，
也就是說，不管我選哪一個chart (u,x), chart (v, y)，y º ϕ º x^-1 這個map，是不是smooth
也就是說，不管我選哪一個chart (u,x), chart (v, y)，y º ϕ º x^-1 這個map，是不是smooth
要獨立於我的chart選擇。也就是說我假設我選了其他的chart (u',x'), chart (v', y')，
構成的y’ º ϕ º x’^-1也該是smooth的。
但要讓這個成立，我們的chart transition map太弱了，他只保證是連續的（我上面有說）。
chart (u,x) 和chart (u',x')之間只是連續，沒說可微分甚至是smooth。
chart (u,x) 和chart (u',x')之間只是連續，沒說可微分甚至是smooth。
所以我們要更強的條件才行，也就是chart transition map也必須是smooth的。
進一步說，給定一個topological manifold M，我們要求所有的chart之間的映射都是是smooth的。
我們就可以保證ϕ微分在M上獨立於charts的選擇。(homework, why?)
最後我們定義一個Atlas，叫做C-infinity Atlas。如果
裡面所有的chart transition map都是smooth(C-infinity)的。直接看圖。
如果兩個chart之間的chart transition map是C-infinity，則我們說兩個chart是C-infinity compatible.
再來補上個定義，我們叫一個C-infinity Atlas是maximal ，則所有和任一chart(u, x)於atlas是 C-infinity compatible的chart, 也都包含在Atlas中。總之就是把C-infinity Atlas擴張到極限。
好了，我們可定義微分流型了，給定一個Topological manifold (M, O)，我們再加上一個Atlas/Chart結構
也就是一個maximal C-infinity Atlas A, (M, O, A), 就把它叫做C-infinity manifold. (smooth manifold) (看下圖）
然後給定兩個C-infinity manifold，(M, Om, Am)，(N, On, An)我們的ϕ map也可以定義smooth了。
最後，兩個C-infinity manifold，(M, Om, Am)，(N, On, An)如果是
diffeomorphic（微分同胚），則代表存在一個bijective map ϕ ，ϕ 和ϕ ^-1都是smooth 。
diffeomorphic（微分同胚），則代表存在一個bijective map ϕ ，ϕ 和ϕ ^-1都是smooth 。
另外這個map叫做diffeomorphism.
那問題來了，給定一個Topological manifold(M,O)，
我們不是可以選很多種maximal C-infinite Atlas? 賦予在這個manifold上？
所以有不同的微分結構在這個manifold上？
（最初問題：給定一個topological manifold M,
Ａ：跟dim(M)有關，
可以構造出多少種diffeomorphism等價的smooth (C∞) manifold?）
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dim(M) in {1,2,3}，則只有唯一一種
也就是說你隨便選的maximal A根本沒差，最後還是彼此diffeomorphic
dim(M) > 4 則每個情況都是"有限種"
dim(M) = 4 則有uncountable infinite.
如果今天我們考慮的空間M是R^d (M = R^d), 那更詭異的事情發生了...
if d ≠ 4 then any smooth manifold homeomorphic to R^d is diffeomorphic to R^d.
也就除了在R^4, 都是只有唯一一種的微分結構。
那R^4呢？除了標準的，還有uncountably many無限多種微分結構，每一種都叫做Exotic R4
有幾個Exotic R4發現也才是1980年代，距今沒多少年，於是不少理論物理家驚訝了，說不定
那R^4呢？除了標準的，還有uncountably many無限多種微分結構，每一種都叫做Exotic R4
有幾個Exotic R4發現也才是1980年代，距今沒多少年，於是不少理論物理家驚訝了，說不定
Einstein 的General Relativity選錯differential structure才出問題了？
我們換個時空微分結構，重新打造不同物理，說不定可以觀測出不同的結果？
至今這些奇怪的non-standard differential manifold依舊是理論物理尖端的研究課題，
為甚麼是3和4?，和我們的時空三維＋時間一維有關嗎？
我看過數學中，最毛的地方，莫名浮現了三維四維的神奇
有錯誤歡迎指教，咱也不是物理數學系的，只是興趣使然的軟體工程師
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