主題

數學家的無限想像(3)--簡談無窮級數

伍德‧瓦懷特 | 2020-12-30 17:24:50

  好久沒跟大家聊聊了,在前幾篇(這篇)跟大家聊過0.99...=1這回事,也在這篇跟大家談到數學家們現在看待無限,是有將其分級的。有的無限是可數的,有的則比其更多,不可勝數。今天我們來聊聊無限的另一個面向:無窮級數。所謂的級數(Series),用白話說就是把數字加起來。如果加的數字有限多(有10項、1000項之類的都沒問題),結果一定能算出來。問題是,要是我們加了無窮多項,結果會是有限的、還是無限呢?

  另一個問題是,當我們加的數字有正有負,震盪的結果會擺向何方呢?當正方和反方的力量都很大時,甚至會發現我們從小看到大的交換律(先加誰沒關係)竟然失靈了。更多關於無窮級數那些事,讓我們繼續看下去。

一、天長地久的級數──有時盡還是無絕期?
(以下我們先假設級數內每一項都是正的)

  小學時,大家應該都算過1+2+...+100=5050吧?這個100項的級數雖然越加越大,但因為我們知道終點,就算不照高斯的作法算等差級數,還是知道加出來是有限的。相反地,要是請各位算1+2+...到無窮無盡,大家大概也很明顯能看出結果是無限大,畢竟加進來的數字越來越大,怎麼可能會停下來呢?

  這個直覺是對的。我們可以用白話這麼說:一個級數要收斂,加的數字應該要越來越小,且要趨近於0

  另一方面,先前提到1=0.99...,其實我們也能把0.99...寫成0.9+0.09+0.009+...。由於我們知道它就是1,表示這麼加下去到無窮,是會停在1的。就像上面說的,加的數字越來越小,且趨近於0。這樣來說加無窮多項沒關係,只要越加越小就好?那也不一定。

  我們看看這個級數:1+1/2+1/3+1/4+...,它也是每一項越加越小。事實上,它還有個「調和級數」(Harmonic Series)的美稱。但早在十四世紀,數學家們就知道它會發散(Diverge)。用白話來說,它會加到無窮大,不會停下來。證明方法很簡單,只要證明它比無窮大還要大就好。

  1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...
>     1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8+...
=     1+1/2+1/2+     +1/2+...
  而最後一列很明顯會加到無窮大(一堆1/2相加),所以調和級數會發散。

  像這樣透過和已知會發散(或收斂)的級數來比較,藉以判斷究竟會發散還是收斂的手法,我們稱為「比較審歛法」(Comparison Test)。有兩種形式(其實是一體兩面):
  (1) 如果一個級數每項都比另一個發散的無窮級數大,則原本的級數會發散。
  (2) 如果一個級數每項都比另一個收斂的無窮級數小,則原本的級數會收斂。
  簡單來說,比無窮大還要大,那肯定是無窮。比有窮還要小,那肯定是有窮。反過來是錯的,例如比無窮大還要小,可能還是無窮大,也可能是有窮的。那時我們就需要其他的方法來判斷*1。

二、冪級數(Power Series)
  既然可以透過比較來判斷級數是否收斂,那麼能夠用來比較的基準自然是多多益善了。其中一種標準是「等比級數」,像是0.9+0.09+0.009+...,每項都差一個共同的倍數(公比,這個級數的話是0.1)。如果公比介在1和-1之間(端點不算),那這個級數就會收斂,反之則會發散。

  另一種常用的標準則稱為冪級數(Power Series)。所謂的「冪」指的其實就是次方。他們有著以下的形式:
  1/1^p+1/2^p+1/3^p+...,其中^p表示p次方。
  白話來說,當p=1時,它就是調和級數1+1/2+1/3+...,而當p=2時,它是1/1^2+1/2^2+1/3^2+...=1+1/4+1/9+...。
  
  透過積分,我們可以知道當p<=1的時候,冪級數會發散(p=1就是調和級數,會發散);相對地,當p>1的時候,冪級數會收斂

  事實上,當p=2時,1+1/4+1/9+...=(pi^2)/6,其中pi是圓周率。你沒看錯,圓周率跑出來了。這個問題在數學上被稱為巴塞爾問題(Basel Problem),由歐拉(Euler)在1735年初步解決*2。從此類問題還延伸出黎曼函數、黎曼猜想等等到現在都還困擾著數學家們的難題。

三、正負震盪後的結果
  在這節我們談談另一種問題。要是級數內不像先前談的都是正的,而有正有負,那又會如何呢?
  舉例來說,1-1/2+1/3-1/4+...會收斂,還是發散呢?

  像這樣一正一負的級數,我們稱為交錯級數(Alternating Series)。目前最簡單判別它是否收斂的方法如下:
  如果這個交錯級數
  (1) 每項的絕對值越來越小 (2) 每一項收斂到0
  則它會收斂

  例如說,我們上面提到的1-1/2+1/3-1/4+...,每一項的絕對值越來越小(1、1/2、1/3、...)且收斂到0,所以它是收斂的。須注意的是,邏輯上違反前面兩項,也不代表就不會收斂,只是我們沒辦法用這個測試法而已(對,我們又需要其他的測試法)。事實上,1-1/2+1/3-1/4+...=ln 2。這裡ln是自然對數。而ln 2=0.69...。求和需要其他微積分技巧,我們暫且按下不談。

  有趣的是,我們從國小就學到交換律,告訴我們先加、先減誰是沒關係的。但是,1-1/2+1/3-1/4+...中,正的部分是1+1/3+1/5+...、負的部分是-1/2-1/4-1/6-...,兩個都是無限大*3。我們甚至可以重排這個級數,讓和收斂到我們想要的任何數字,例如3。方法基本上是先排正的數字,當加到超過3時(因為正的部分會加到無窮大,沒問題),換排負的數字,等到比3還要小時,再換正的數字,重複這套流程,最後排出的結果會收斂到3。

  為什麼交換律會「失效」呢?原因在於這個級數會收斂到0.69...純粹是正負的力量「差不多大」而拉鋸的結果。如果我們不看正負,只看振福(絕對值),這些振福的總和是1+1/2+1/3+...,我們知道它是無窮大。像這樣的級數,我們稱為條件收斂(Conditional Convergence),表示它的收斂來自正負兩個都很大的力量相抵;相對地,要是將振幅合計起來都會收斂的級數(像是1-1/4+1/9-1/16+...),我們稱為絕對收斂(Absolute Convergence)。針對條件收斂的級數,重排會影響和;而對於絕對收斂的級數,再怎麼重排,和也不會變

四、結論
  今天我們很概略地談了無窮級數。當一個級數越加越小,它有可能會收斂,有可能不會。先前看過的0.99...就是會收斂的例子,而調和級數則是發散的例子。我們可以透過和已知收斂或發散的級數比較來判斷級數的性質,其中常用的是等比級數和冪級數。

  另一方面,當級數內正負震盪,我們稱為交錯級數。它的收斂可能是因為振幅合計本來就很小(絕對收斂),也可能是正負兩股力量相抵的結果(條件收斂)。當一個交錯級數是條件收斂時,加減的順序就非常重要,重排是會影響答案的。

  那麼幾期關於無限的問題,我們就聊到這裡。在伍德想到下次可以跟大家聊什麼數學之前,先祝大家2021一切順心。我們下期伍德說數見!

*1. 請參閱微積分課本關於級數的章節,這裡暫且不提。
*2. 巴塞爾則是歐拉的家鄉。
*3. 讀者可以自己試著證明看看。
182 巴幣: 62
愛德莉雅.萊茵斯提爾
預祝伍德先生新年快樂(ˊ ˋ)
2020-12-30 17:43:11
伍德‧瓦懷特
愛茵也新年快樂呀!
2020-12-30 17:55:55
勳一
在我嘗試想要理解這篇之前,還是先祝伍德新年快樂吧(X)
2020-12-30 17:47:59
伍德‧瓦懷特
其實我只是想在跨年前把無限篇給寫完,今年底無限XX很紅嘛(X)
總之新年快樂。
2020-12-30 17:56:45
函和言
年輕人不講伍得(X)
離拉馬努金又近一步了。我覺得這片和咒術迴戰的五條悟有關吧XD
2020-12-31 02:32:13
伍德‧瓦懷特
年輕人們耗子尾汁啊(O?)
拉馬努金那套我不會談,對大家太玄幻了一點(
原來如此,伍德的領域展開是把無限的知識塞進大家腦袋裡(X)
2020-12-31 11:36:12

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