此篇是整個高二下數學系列文章的最終章，接續前面的圓錐曲線主題，並聚焦在與物理（牛頓力學）方面的關聯。
在寫此篇時我已經身為物理系大一了，但是才剛開學幾星期，物理課程還和高中相差無幾。我希望在此紀錄我在高中時網路上得到的各種知識，若各個名詞或敘述有錯誤，就請寬鬆看待。
現在中文對「拋物線」、「雙曲線」的命名，其實有點佔後見之明。就像「行列式」、「微積分」等名字，中文在命名時，這些數學都已經被研究了滿長的一段時間，中文在這些詞也都趨向「一看就知道性質」的命名。行列式和矩陣的名字十分清楚的表出它們是方的，而且有行有列，不像它們的英文名字，前面講過行列式Determinant ( 決定性因素 )，矩陣的英文Matrix原意是母體，矩陣篇見文2中說它可能代表行列式的母體。而微積分則很明顯是微分和積分的學科。
另一方面來看，日文與中文在這幾個詞上幾乎是一模一樣，基於日本比中國更早西化，很有可能這幾個詞也是由日本人先翻譯，隨後中文借用過來的詞，這種情況在現代中文裡並不少見，像是「電話」、「歷史」、「蛋白質」、「粒子」、「化學」、「政治」等等（前三個確定，後面可能有誤）。
「拋物線」在西方從最初命名到確定是拋物軌跡，花了幾千年，但我們因為從小就在聽這名字，到國中正式接觸到二次方程式圖形，已經不可能會有人懷疑拋物軌跡和二次方程式的直接關連性，雖然到此篇後面會講到這其實不太正確。而「雙曲線」則直白的道出，這曲線就是兩條曲線組成的；只是你得把它當做同一個曲線。
數學最讓平常人不喜歡的其中一點，就是有點空口說白話。總是在理想又看不到的世界裡，用一些看來囉嗦的規則一步一步建設著無所用處的算式和理論。不過，圓錐曲線的經歷便是可以令這種想法反省的例子。在古希臘時代之後經過了幾千年，圓錐曲線一直都只是紙上談兵，可能有人思考過這些曲線會在世界的何處出現，只是沒有研究成功。此情況一直到伽利略發現，斜向拋射物體受重力的運動軌跡是一條拋物線，再到克卜勒算出太陽系行星運動軌跡是橢圓，最後到牛頓告訴我們，受重力影響的運動軌跡可以有橢圓、拋物線、雙曲線等可能。世界看到了這一開始只是空談的曲線和性質，有天得以變成了人類計算宇宙的工具。若是當初數學家們因為沒有實用性而不想研究圓錐曲線，導致我們得要從頭開始鑽研圓錐曲線，如今的天文和物理學成就，可能又得延後幾十年到幾百年才出現（當初因為牛頓不喜歡發表研究成果已經被延後很久了）。
牛頓當時發現了萬有引力遵循的定律，再用自己發明的微積分（流數法），分析計算出天體受重力軌道會是二次曲線，或是說，只要是受平方反比力的話，軌道就會是二次曲線。雖然現在我們已經知道，牛頓的重力方程式並非最精確。若要算出最精確的結果，得要用到愛因斯坦的廣義相對論，而這兩者的數學和解釋都相差甚遠。
牛頓當時認為空間和時間都是絕對穩定平靜的，不受任何事物影響，而重力是一種力，作用在兩個有質量的物體之間，且量值與距離呈平方反比，就像有一條看不見的繩子拉著。但是牛頓自己也說，他講不出究竟為何有種力可以不用接觸就可傳遞並作用在遠方的物體上，重力方程式僅僅是描述數字大小關係，並沒有解釋原因。總之在這樣的描述之下，我們是可以推算出軌道呈二次曲線。
但是在廣義相對論中，則有完全不同的數學樣貌和解釋。愛因斯坦已經知道時間和空間事實上會隨著觀察者的運動狀態而有不同的變化。而他再推論出時空會受到物質質量的影響而發生某種程度的扭曲；天體在經過這種扭曲的空間時，其實是在走「直線」，但是因為空間本身扭曲，而使得這個直線看起來非常「不直」而彎曲。為了精確描述空間彎曲情況，愛因斯坦引用了
黎曼幾何，一種可以描述計算曲面（其實是更高次元叫
流形）的數學，方程式的計算要用到
張量（更高次元的矩陣），和微積分等，要解出精確的解非常困難。我們在國高中遇到的最多不過4次方程式，而且還是剛好可以因式分解的，公式解在3次就已經很複雜，而5次以上已經被證明
沒有公式解，所以其實數學更多的是很難解出精確解的方程式，並非國高中可以想像的。而方程式就讓廣義相對論比起牛頓重力還要來得複雜太多，軌跡也已經不再是簡單的二次曲線；就算想要像原來一樣，將空間彎曲造成運動方向改變描述成某種力的作用，寫出
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也是困難的事情。聽說當初愛因斯坦花了八年完成廣義相對論，在1915年11月發表時只有10位科學家可以看懂方程式在寫什麼。
黎曼幾何用在廣義相對論的例子又再一次表明，我們無法說定現在覺得無用的數學以後都還是無用的，又何時會成為重要的科學基礎。（剛好這兩個例子各自都對應不同時代的幾何學）
上面雖然說，牛頓算出所有平方反比力軌跡都會是二次曲線，但其實在當時除了他發現的重力以外，另一個平方反比的庫侖定律還沒出現，出現時牛頓早已經去世，但重力的推導步驟適用所有和牛頓重力形式相同的力（雖然也就只有兩個）。庫侖定律雖然形式與牛頓重力一模一樣，但是它是比牛頓重力更精確的實驗定律，不過它僅在兩個電荷靜止時準確，若兩電荷運動起來，就必須用量子電動力學來描述，它是第一個同時符合相對論和量子力學的理論，也是號稱人類史上最精確的理論。所以說，當初兩個形式一樣的定律，如今都各自被更精準更複雜的理論所包含（廣義相對論和量子電動力學的方程式在接近一般情況時可以各自得出牛頓重力和庫侖定律），不過因為更複雜的關係，若是真的不要求準確的話倒應該可以不要自找罪受。（之後所講的都僅止於牛頓重力的範圍，因為廣義相對論太難，也不是單純的二次曲線軌道）
從國中到高中都有講到力學能，它被定義成動能和位能相加，在重力場軌道的預測也有幫助。一個物體的力學能大小，也同時決定了它的軌道形式。假設空間中只有兩個物體（或星球），彼此會互相受到重力，但是其中有一個不移動（也就是不討論類似雙星互繞或是軌道偏移的狀況），不過不討論是怎麼讓它靜止的，之後會把不移動的稱作母星，移動的稱做行星。雖然我們沒辦法單單從力學能直接推導出軌道方程式，不過力學能大小可以告訴我們，軌道會是圓形、橢圓、拋物線、雙曲線的哪一種。看一下力學能公式
因為是太空等級的討論，所以重力位能形式要用廣義的，在這個定義下，位能數值都是負的，而動能是正的。這裡先來算出速率為多少時，軌道會剛好是圓形的。這裡用到了向心加速度的公式。
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這裡的
R 是指最初的位置。
如果最初行星以這個速率出發，而且方向垂直於半徑R，軌道會剛好是圓形，因為上面用的是屬於圓周運動的公式，而圓周運動的速度一定垂直半徑。小於這個速率或是方向不垂直R的話，軌道就會是橢圓。而其實大於也會是橢圓，但還是要小於某個速率。想像一下如果把一個物體以極大的速率往太空推出去，可想見如果這個速率超過某個數值時，這個物體就會無限制的往無限遠的地方飛去，不會再被重力吸引回來。因為力學能守恆，我們最初給的極大動能和它當時的位能相加，會等於它飛到無限遠的地方時的力學能。當它飛到無限遠的地方時，動能幾乎為0，此時位能等於力學能，而在無限遠處的位能，在公式上就定為0。也就是說，我們最初給予的正數動能，剛好把該位置的負數位能給抵消成為0，所以說，此時要給的速率會是。
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和上面不同的地方是，因為純粹用能量來看，所以此速度不需要垂直於R，只要不是直直往母星衝撞過去，往任何方向丟都會飛到無限遠處。
假設此物體的出發方向都是垂直於半徑，我們可以看一下出發速率慢慢增大的軌道模樣：
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這是所設定的初始狀態，v會從0慢慢增大。
（M和m中間的顏色點是對應到各個顏色軌道除了M的另一焦點。）
我們知道m的運動軌道是以M為其一焦點的橢圓，而另一焦點則會隨著v的增大而從m的位置慢慢往M移動，當v到達圓軌道速率時，兩個焦點重合，軌道成為圓形。
v再繼續從圓軌道速率增大，另一焦點越過M繼續遠離。
這時候的圖形和前面曾經講過的某個概念很像，v繼續增大，另一焦點逐漸的往無限遠方移動。也就是前面已經說明過的，橢圓會變成拋物線。
而軌道呈拋物線的初始速率，正是使力學能剛好為零的速率，這個速率也被稱作脫離速率或逃逸速率，而與地球有關的幾個速率則叫做宇宙速度。
顯然速率還可以再繼續增大，那麼比脫離速率更快的速率會形成什麼軌道？選項也只剩下一個了，當然就是雙曲線。這很合理，我們可以想像當物體以超級大的速度衝出去時，不但足夠讓它跑到無限遠，而且它的軌道還幾乎會是直線，而雙曲線確實也有可能接近直線。
速率再繼續增大，軌道的另一焦點會從另一邊的無限遠方接近回來，但是一個星體不可能同時身處兩個軌道，也就是說，雙曲線的另一支只是用來保持數學的完整性，在物理上，星體終究只可能跑其中一支，也就是有通過出發點的那一支。（而就這張圖而言，肯定是左邊分支，因為右邊的軌道只有重力是平方反比斥力時才有可能出現）
雙曲線與拋物線軌道都是一去不復返的軌道，跟橢圓和圓形軌道的週期性相反，因此我們叫這種不會回來的軌道叫做開放式軌道，與之相對的橢圓與圓形叫做封閉式軌道。
拿太陽系來說，理想上，會有拋物線或雙曲線軌道的星體都是從太陽系外遠方被太陽重力吸引過來的，它們被吸過來後也只會飛越太陽一次，它們被太陽轉個方向後就繼續往遠方飛去，不會再回來。但實際上宇宙中有許多其他的星體，各自都會有重力場，因此也會影響運動星體的軌道，各種軌道會因為其他星體的重力而互相轉換。太陽系內外的各種星體會造成運動星體加速或減速，動能（速率）變化便造成軌道形狀改變。例如理想上若要具有拋物線軌道，必須要從無限遠處出發，但現實中並沒有真正的無限遠處，因此按照理想情況，應該大家都會是橢圓軌道（封閉式軌道），但其實運動星體有可能會中途加速變成拋物線，甚至變成雙曲線；而當然雙曲線或拋物線也可能中途減速變成橢圓。像是一些長週期彗星，因為時常離太陽極遠，容易受到其他星體或其他因素改變軌道的形狀（離心率）。
而上面所講的力學能概念也可以用在被束縛在原子核旁的電子。把原子核當做母星，電子當做行星，我們一樣可以算出一個被原子核束縛的電子擁有的電力位能和動能。如果我們給予電子能量，使它的力學能大於0，它就會脫離原子核變成自由電子。但是要特別強調的是，雖然我們可以算出它的力學能，它也會做繞核運動（因為電子繞核會產生磁場），但是絕不可以說它有繞核軌道。簡單來說，電子是沒有運動軌跡可言的，這是量子力學所說的。在沒有觀測的情況下，電子只能用某位置的出現機率來描述，這時它表現出波的特性。我們在發射一些電子後捕獲一個電子時，我們不可以說它從射出後經由什麼路線來到這裡，因為它先前作為波可以有無限多種可能。它可以直直往前跑，可以繞個大圈，可以直接從發射口瞬間移動到我們這裡，也可以先跑到火星再跑回來，只是機率很小。若是試圖一路上觀測著這顆電子，那當然會有軌跡，但是它就只會有粒子性，不會看到它瞬間移動，也不會先跑到火星再跑回來。也就是說，在人類觀測的情況下，電子不會表現出全部的樣貌，就像知道被攝影機拍攝時，人會改變原本的行為。所以在講原子內的電子時我們也一樣不可以說它有運動軌跡。
我們一直說
斜向拋射軌跡是條拋物線，也就是
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，我們在物理課也一直這樣在算它們，但是在數學課時，算的東西和物理課相當不同，數學的重點是它們的焦點和準線。於是可以想到一個問題，我們在拋出物體後，物體劃出的拋物線焦點和準線在哪裡？雖然平常丟東西的時候根本不用在意這個，因為這時的拋物線並非像數學一樣先定出焦點和準線，而後才形成拋物線，而是直接劃出一條拋物線。而物理課的題目也沒有需要去算這兩個東西，不過在這裡就先算出來一下。
用物理課教過的斜拋公式，可以算出焦點的位置。
我們知道拋物線的焦點就在對稱軸上，由上圖我們已經知道從頂點到x軸的長度H，但是不知道焦距c就不知道焦點的y座標。
於是從開口向下的拋物線方程式知道
此首項係數應該要和上面的拋物線相同，於是可以算出焦距為
從頂點高度H減掉焦距c得焦點y座標為
（而知道焦距後，從頂點往上一個焦距就有一條準線了）
從結果可以知道，若拋角小於45度，則焦點在地面下；若等於45度，則焦點正好在地表；若大於45度，則焦點在空中。從結果看來，45度是一個分界的角度，這時焦點正好在地面，這時地面是一個垂直對稱軸且經過焦點的線，這就是正焦弦的定義，數學說正焦弦等於4c，而物理公式說45度斜拋時，物體越過的距離正好是高度的四倍，完全和數學課的拋物線特徵一模一樣。
但是，雖然我們用拋物線可以很滿意的描述物體運動的情形，但是我們都沒想過這其實只是表面上看來如此。
回想當初國中開始，在學重力加速度g時，就已經定下假設，只是後來不怎麼在意它，那就是「地面是平的」、「g的方向處處垂直地面且等值」。在這種設定下，得出斜拋軌跡是拋物線，但是我們也知道，太空中天體的運動軌跡也有可能是拋物線，這兩種拋物線很明顯不一樣。法拉第當初為了具體化電力與磁力的作用，想出了力線，我們對於磁力線比較熟悉，而這概念也可以用在重力上，一個星體的重力線全部指向質心。而物體便在這重力線上形成二次曲線軌道。
但是這裡的重力線是全部平行的，雖然不排除這兩種確實都是拋物線，但是有沒有可能有一種其實不是拋物線？
從上面所說的脫離速率，可以得出結果。依照上面所說的，要劃出一條拋物線軌跡，應該要達到脫離速率，而且出發後就不會再返回。那麼脫離速率有多快？是否快到人類無法用這種速度丟出東西。答案是當然的，因為對於地球而言，這個脫離速率就是所謂的第二宇宙速度（第一宇宙速度則是我二皇后的樂團名 在地球上劃出最小圓形軌道的速率）（雖然這應該叫做宇宙速率才對）。因為地球不是正球體，所以這個速率在各地也有些許不同，不過頂多只有秒速幾十公尺的差距，而這個速率在台灣的緯度是11182.5m/s（第一宇宙速度在南北極則是7918.4m/s），很明顯這不是人類可以丟出來的速度，這種速度得要用NASA的火箭才可能跑得出來。若是人類想在太空中學火箭一樣，背著一包重物往後慢慢丟出來加速到這種速度，理論上最少得要背10的2430次方公斤的物體，花上同等數量級的時間才有可能加速到這種速度（這種數量級超過太陽質量，甚至宇宙中原子總數）。那既然人類不可能丟出第二宇宙速度，那麼就表示人類丟出的物體永遠是封閉式軌道，也就是橢圓或圓，而圓也不可能，因為那需要丟出第一宇宙速度。所以我們丟出的物體只有一種可能軌道，那就是橢圓。但是我們卻從來沒發覺它們劃得出橢圓，原因就是地面。
我們以上所得出的軌道，都是在母星是一個質點的情況，才會完整劃出，但是實際上，物體還沒劃完整個軌道，就已經被地面擋住了。我們可以想像一下，若地球往內縮小，縮到所有物質（質量）都集中在地心的一個小點中，我們漂浮在太空中，但可以固定在距離小地心球一個原本地球半徑的位置上，就好像地表不見了，這時把一個物體往原本天空的位置斜拋，運動的情況會如何？它會劃出我們原本以為的拋物線後，衝過已經消失的地面，繼續往地心掉下去，掉了幾千公里之後，在地心處做一個高速回轉之後，往上衝回我們的位置，在沒有任何阻力的情況下，這物體回到原位之後會繼續往天空飛，繞著剛才經過的軌道，永遠繞下去。
所以，其實我們拋出物體劃出的線，一直都是一個超細長橢圓的一小部分，物體原本應該衝到地心，但是一直被地表擋住，所以我們不會看到它劃出完整的橢圓軌道。
所以，其實「拋物線」一直都並非「拋物線」而只是非常像「拋物線」。
在前面，我們看到橢圓另一焦點跑到無限遠時，從那個焦點射出的光線在這端會逐漸平行，上面的重力線也相同，因此我們在地表把它當作平行。而這個橢圓的兩個焦點，一個是我們用拋物線算出來在地表附近的那個（很接近），一個就是地心。
但是，叫作地心的那個焦點實際上並不在真正的無限遠處。從這裡也看得出一種物理和數學在意的不同點。在數學上，另一個焦點一定要拉到「真正的無限遠」，遠到人類所不能及還要更遠的更遠，比460億光年還要更遠，才能算是拋物線；但在物理上，我們在地球半徑這種程度就已經可以接受這是拋物線了，也就是若遇到尺度上可以忽略的程度就會先忽略它。
另一種同樣是超細長橢圓的例子是上面說到的彗星。和接近圓形的行星軌道不同，彗星的軌道通常都是離心率很接近1的橢圓，這表示若取軌道兩端的部分來看也會接近拋物線，但是一般並不會把它看成拋物線，這當然也是因為它實際劃出了整個軌道，而並非地表拋物運動。而還有一個原因是因為，事實上拋物運動的離心率比彗星軌道還要接近1，知名的哈雷彗星軌道離心率是0.967，而再更長週期的彗星大概有小數點以下四位的9，週期有數十萬年，而平常拋物運動軌道的離心率則有0.9999968，這是物體被拋到大概10公尺高的數值。還有一個因素也是上面說過的，軌道會因為其他星體而改變。
其實以上還一直忽略一個因素，就是空氣阻力，當然這和物體本身的性質有關。空氣阻力和物體前進方向的面積和速率成正比（不一定是一次方正比），而重量越重，阻力對速度的影響越小，所以密度越大，面積越小越容易劃出理想的拋物線（橢圓）。而像是羽毛球這種受空氣阻力影響很大的物體，若是有打過應該就會清楚，若是45度左右往斜上打，羽毛球的軌跡在斜向往上到頂點之後，會近乎直線往下掉，這是因為初速在往上的途中被削弱，到頂點之後水平速度也被削弱了，所以會近乎直線下墜；這種情形在初始角度越小時越不明顯，像是只差幾公分就會觸網的平飛球，在頂點前後所走的距離差不多，這是因為在頂點前的路徑不長，速度沒有削弱許多；其實也就是速度越快，和理想的拋物線越接近，也可以說軌跡越接近發射點越近似拋物線。
在文章的最後，就來談光線在重力場中的彎曲。
講到光線會彎曲，大家都會想到一定是愛因斯坦第一個提出這個創見，因為當時在1919年日蝕時的觀測，不但上了世界頭版，同時也讓愛因斯坦成為世界知名的人，大眾第一次聽到光線彎曲，旁邊就伴隨著愛因斯坦和廣義相對論這兩個名詞，因此這聯想並不意外。
實際上，牛頓重力也從來沒有把光排除在影響的對象之外，就和廣義相對論一樣。不管光是粒子（量子或是牛頓覺得的微粒）還是波動，不管它有沒有質量（能量），光所遵循的運動軌道和任何行星或球類都是一樣的，唯二的不同在於：牛頓重力不夠準，還有光太快了。
理論上，在同樣高度水平丟一顆球，和射出一道光，「掉」到地上的時間一模一樣，只是光走得太遠。真空中的光速為299792458m/s，空氣中也差不多，若要在幾公里內看到光「掉」在地上，光源的離地高度只能有10的負10次方公尺，這根本是貼在地上了，甚至雷射光的直徑都比這高度還大。
在1801年，一個德國物理學家Johann Georg von Soldner就已經指出，基於牛頓重力，光線在經過大質量星體旁時會有彎曲的現象，就和地球受到的太陽重力效果一樣。
只是採用牛頓重力的計算結果會是錯誤的。其實在1912年，愛因斯坦還沒寫出最終正確的方程式時，已經計算過光線經過太陽的彎曲程度，但是那和牛頓重力得出的結果一致，也就是錯誤的數值，這個數值只有最終正確值的一半。
而我們下面就用牛頓重力來算一下這數值。只考慮牛頓重力的話，軌道都會是二次曲線，而像光速如此快的速度，一定是雙曲線軌道，而就像上面說過的，雙曲線軌道的確有可能接近於直線，只是「光速也還不夠快」，不足以劃出計算不出彎曲程度的雙曲線軌道（像是地球造成的光線彎曲）。
那什麼是彎曲程度？從一般的敘述而言，我們都叫它光線的偏轉角度，那麼雙曲線光線的偏轉角度是指什麼？這平常很少講到。因為一般而言，光是走直線的，唯一教過會偏折的情況是折射，而折射只發生在介面上，折射前後光還是走直線，所以偏折角容易判斷，但是這裡的雙曲線軌道從頭到尾都是曲線，要從何處開始計算角度？
回想一下，我們的假設是光線從遠方射出後，只受到太陽重力影響。經過太陽旁，大角度偏轉後，一邊繼續受重力，一邊往遠方前進，最後抵達無限遠方（雖然不可能）。所以說，所謂偏轉角度，應該就是指光線當初射出的方向，與最後抵達遠方的方向之間的角度差，而雙曲線有個東西無限接近這兩個方向，可以讓我們知道這兩個方向為何，從而算出角度差，那就是漸近線。
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橘點代表太陽，紫色左分支是光線的軌道，箭頭代表光線前進方向，紅色速度v是垂直於R的初始速度，θ就是光線所偏轉的角度，也就是漸近線的夾角。因為我們想算太陽旁的偏轉，所以在此，R就是太陽的半徑，v是光速（在這裡我們把光線當作一般物體來看，因為除了R的位置之外，軌道上其他位置速率會全部小於v）。
確定了物理參數之後，我們還得要有個方法找出這個雙曲線的a和b，這裡會用到一個學校不會講的公式，叫vis viva公式。vis viva原本是萊布尼茲用來當作類似動能意義的詞，拉丁文意思是活力(living force)，相對的位能則叫作死力，不過不知道為什麼這公式會叫vis viva。
a就是圓錐曲線的半長軸，大於0是橢圓，等於 r 時是圓形，無限大時也就是1/a等於0是拋物線，小於0是雙曲線。這個公式可以用力學能守恆和角動量守恆證明，也和前面脫離速率的計算結果相符。
它可以在給定
v 和
r 的情況下告訴我們圓錐曲線軌道的
a是多少，但是不會告訴我們b或c是多少，因此為了方便計算，讓v垂直於R就讓我們可以直接確定
c，而透過電腦和
反三角函數，我們可以直接用a和c來得出夾角。反三角函數的另一個應用實例可以看我之前的文章「
地平線到底有多遠？」
由vis viva公式，得
而雙曲線得出的a是負的，所以c=R-a。
現在需要的參數都已經確定。（這裡不需要得出b，因為
a和
c可以得出
sin![]()
）
而因為漸近線
對y軸對稱，因此只要算出
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再乘以2即可。
把所有的數值代入，可以得出
因此
要怎麼知道這是正確的「錯誤」數值呢？
廣義相對論得出的的正確數值為「1.75角秒」，而我們得出的應該要是這數值的一半。（角秒是學校少提的小角度單位，但是在算經緯度時也會看到：一度分成60份是一角分，一分切成60份就是角秒，因此一角秒就是3600分之一度，這裡就和時間的分秒定義一樣，只是沒有把一度叫做一角時。）
所以只要把兩個數值相除就可以確認了。
用上面的公式也可以估算地球造成的偏轉角度，大概是0.000287角秒，得要走7100多公里才會與直線偏差一毫米，超過一個地球半徑；而在地球這種弱重力場，廣義相對論應該與此相差不遠。
這系列關於高二下數學的文章到此就告一段落，此後可能會也可能不會有補充。在高三下我還沒把最後圓錐曲線的部分寫完，因此和準備指考衝到時間，在準備指考時同時也一直在思考圓錐曲線還能有什麼延伸主題。也因此這篇完全在大一時完成，不過大一時數學部分只關注微積分，幾何和科學數學史不在課程範圍，所以大學課程其實對寫此篇幫助不大。
因為自己的個性，所以我一直很希望高中課程能出現一些比較好玩的東西，結合歷史和新知和一些有趣的數學。但是實際上為了要考試，而老師又不一定會有這方面的知識，因此這種要求相對變得很無理，所以我只能自己在網路上，努力充實自己，把這種願望寄託在這些文章，想像高中課程也是如此的話。雖然我承認自己寫的某些部分對某些人而言其實一點也不有趣，只像是為寫而寫，為充字數而已。
因為是在網頁上的關係，不能像老師一樣口語化的持續詳細解釋，也不能像寫黑板一樣仔細解釋每一張圖每個計算是怎麼回事，因此其實寫這種文章挺困難的。
我也希望我的文章會給人一點啟發；在下課時想到一些問題時，因為看到這些文章而有所收穫，並把它繼續延伸到更深的思考意義。
(2019年後敘：上面關於光線偏轉角度的計算，其實不是正確的，實際角度雖然是1.75角秒，但錯誤數值並非是真正的一半0.87角秒，而是0.84角秒，正確計算用到了微積分，所以就不在此說明。)
創作內容
自己的高中數學整理 -3.3- 圓錐曲線在物理上的應用
也是困難的事情。聽說當初愛因斯坦花了八年完成廣義相對論，在1915年11月發表時只有10位科學家可以看懂方程式在寫什麼。
這裡的 R 是指最初的位置。
這是所設定的初始狀態，v會從0慢慢增大。
，我們在物理課也一直這樣在算它們，但是在數學課時，算的東西和物理課相當不同，數學的重點是它們的焦點和準線。
）
再乘以2即可。
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