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【大學數學】分部積分法

作者:解凍豬腳│2013-04-03 21:51:43│贊助:48│人氣:617

主題:分部積分法
難度:14



之前發太多都是有關微分的東西,這回就來發個積分的吧!

首先:



當一個人對積分的概念只有「加次方再除」的時候,

看到這個公式一定會想:What the fuck?

各位也知道豬腳叔叔我這個人講數學不喜歡只貼公式,不然就沒意義了。

當然第一步是要知道我這個公式在講什麼,我就解釋給你聽:

v對u積分 等於 uv 減掉 u對v積分

聽起來可能有點抽象,但是這個概念的延伸可以從微分乘法律說起:



如果仔細看一看,各位就會發現這個乘法律和分部積分法的公式長得有點像!對吧?

在這裡我會稍微改一下,把微分符號 D 改成 d/dx ,以方便講解及理解;

微分乘法律:



我們把每一項都對x作積分(也就是在每一項的前面加上積分符,接著乘上一個dx):



(咳,這裡我要說一下,後面我 f 和 g 寫到分子是因為便於閱讀;(d/dx)f 相當於df/dx)

這裡就可以把dx給消掉了:



接下來就是另一個重點了:



為什麼會這樣呢?

仔細想想看前面幾步,其實這就是當初我們省略掉了「1」這個係數的結果,

因為我們是把 「一個」「fg 對 x 微分」對 x 積分回來,

所以現在 d(fg) 並不是把 0 對 fg 積分,而是把 1 對 fg 積分!

換句話說,如果積分符號 和 微小變化符 d 獨處一室的時候,

他們就可以抵銷,如同 二分之一 與 一分之二 的關係,這裡應該不難理解。

接著再由最後兩步處推得:



這不就跟我們剛剛講的



一樣了嗎?只不過是變數名稱不同,接著稍微移項罷了。



再來我們要知道這東西到底可以衝殺小,

總不能我解釋完就跟你說我想去拉屎,所以先閃人了吧?



當然是直接舉例子了:

求不定積分





解:

我們可以拆開,設 u = , du = dx ,v = x² , dv = 2xdx

(我起初在學分部積分法的時候也遇到這個很大的問題,

我無法理解 du = dx 到底是怎麼來的——其實它只不過是對u微分,又因為
微分之後還是

接著移項可得 du = dx ;當然 v 和 dv 的關係同理

所以將 代換之後發現它就相當於 vdu ,

接著我們又從剛剛推來的公式可以得到:

vdu

= uv - udv   

= x² - 2x dx

(常數係數2可以提出來)

= x² - 2 x dx

這裡可能會有點麻煩,像這樣的題目就需要再做一次分部積分法:

設 m = , dm = dx ,n = x , dn = dx

可以得到:

2 x dx

= 2 ndm  

= 2(nm - mdn)

= 2 (x - dx)

積分後還是 ,這時候可以代回 x² - 2 x dx 這部分;

為了避免和前面第一次的分部積分法混淆,這段代換用的變數我改用m和n)

得到

= x² - 2 x dx

= x² - 2 (x - dx)

= x² - 2x + 2 + C

(計算結束,不定積分千萬別忘記加上常數C)

大致上,分部積分法就是這樣用的啦~

如果發現不定積分的原式不能代換,就用分部積分法解決吧!

下課
引用網址:http://home.gamer.com.tw/TrackBack.php?sn=1959871
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留言共 34 篇留言

爪孟爪
頭香

04-03 21:52

解凍豬腳
已成功04-03 21:53
爪孟爪
What the fuck?

04-03 21:53

解凍豬腳
頗ㄏㄉ 04-03 21:53
爪孟爪
桑腥,都沒高職數學[e36]

04-03 21:56

解凍豬腳
ㄋㄅ是很怕數學ㄇ[e17]04-03 21:56
墨花
已睡著(欸
不過是一篇好的教學文ww
雞皮奉上[e19]

04-03 21:56

解凍豬腳
感恩~04-03 21:57
啦啦啦
好複雜歐......

04-03 21:56

解凍豬腳
我當初也費了很大的功夫在分部積分法上面
後來弄通了才知道為什麼會這樣
所以就把當初遇到的很多瓶頸寫上來並加以解釋了04-03 21:57
啦啦啦
這個是你造課本上打下來ㄉㄇ?

04-03 21:56

解凍豬腳
不是04-03 21:57
爪孟爪
ㄎ4窩還是很想學會

04-03 21:57

解凍豬腳
勤學ㄉ豪孩ㄗ04-03 21:58
被會考綁死的杜白
J次段考92分
媽媽買了萬巒豬腳獎勵我
豪ㄘ

04-03 21:58

解凍豬腳
哭ㄌ
痛痛04-03 21:59
Zero
恩..............

What the fuck ?

04-03 21:58

解凍豬腳
[e17]...別這樣啦04-03 22:00
堪擊
那ㄋ高一排列組合都會ㄇ

04-03 22:04

解凍豬腳
還可以
因為上課都沒聽
打算這次連假就在家尬一下
我不想要以後離散數學爆掉04-03 22:06
茄子王
枯ㄇ 我一段數學58

林老師

04-03 22:15

解凍豬腳
加油ㄅ04-03 22:16
乹韻嵐
乾!看不懂

04-03 22:15

解凍豬腳
從最基本的微分看下來
如果你能把每一個步驟都努力看懂
到這步絕對不是問題04-03 22:16
茄子王
排列組合有點難想
感覺東西有點多又雜,計算不是很困難,但是我要想很久很久

04-03 22:18

解凍豬腳
是啊,還是多做題目吧04-03 22:23
叛逆曹長-漢王朝客將
ㄏㄏ 還沒學到

04-03 22:37

解凍豬腳
可以先學啊ㄏ04-03 22:40
『滅鼠大作戰』作怪精
ㄍㄋㄋㄉ數學

04-03 23:20

解凍豬腳
ㄋ看ㄅ懂ㄉ話ㄎ以從前面ㄉ看04-03 23:21
『滅鼠大作戰』作怪精
正負加法都有問題ㄌㄏㄏ

04-03 23:24

解凍豬腳
頗ㄏ
請加油04-03 23:43
桜のエンジェル
我連國中幾何都會算錯的說= =,這真的完全看不懂= =

04-04 00:02

解凍豬腳
老實說我對幾何也不太拿手[e5]04-04 00:03
日精
安安 你真的高一嗎 哭了[e13]
數學65分 討m[e13][e13]

04-04 00:02

解凍豬腳
至少不要被當就好了[e12]04-04 00:04
桜のエンジェル
我數學擅長的,大概是整數的加減乘除與二次函數吧![e12]

04-04 00:07

解凍豬腳
函數延伸出去就有微積分了
加油04-04 00:09
桜のエンジェル
可是我真的看不懂= =,聽以前是社會組或商業群出身的都說微積分是當初把他搞到起笑的= ˇ =

04-04 00:13

解凍豬腳
我當初國三畢業的程度還不是把微積分尬上來了?
不用怕04-04 00:15
傲交ㄓ
這ㄍ地方題目超有趣ㄏㄏ

04-04 00:22

解凍豬腳
ㄏㄏ對啊
可以一直拆
平偉魂爆發04-04 00:22
寒雁雪戀
看到這個我已經不知道要說啥了[e20]

04-04 06:18

解凍豬腳
怎麼了嗎[e17]04-04 12:35
腿控+姐控=MRabbitPG
國2生看到直接拖到最下面惹

04-04 06:41

解凍豬腳
只要學會函數和因式分解
微積分的預備知識就差不多了04-04 12:36
碎了心-損毀嚴重
小弟我國中~~完全不懂那是刷挖溝XD頗有點WHF的感覺XDD

04-04 08:28

解凍豬腳
如果以後讀理科的科系,到大學幾乎都會用到的04-04 12:36
藍白
哭哭高2都不懂,學這個能應用在哪方面?

04-04 14:06

解凍豬腳
工程數學的預備知識就是微積分04-04 14:07
請勿使用雙引號、反斜
理科很難讀嗎QAQ

算2次函數的時候 去次方在帶入算

算微積分嗎>//<?

04-04 14:39

解凍豬腳
去次方再帶入算?怎麼說呢04-04 14:40
請勿使用雙引號、反斜
本來是x平方+2x-7=0 就去掉平方變X+2=0

移過去就變成X=-2 最後要答案除以2

X=-1 在帶進去1+2-7 Y=5 可以拿來算一些應用題

04-04 14:47

請勿使用雙引號、反斜
再亂算的時候發現的規律 拿去給數學老師看 她說是微積分-.-

04-04 14:47

解凍豬腳
對,沒錯

y=x²+2x-7 這個函數我們可以這樣搞:
我們把每一項的x的次方乘一次,接著再把次方減一 變成 2x+2
這個就是「微分」

微分出來的這個式子代表在x處的地方,此函數圖形的切線斜率
當我們切線斜率等於零的時候就可以求出所謂的「極值」

不然你可以畫畫看那樣子的圖形,
在最小/最大值的地方切線是不是剛好是平的(平的線斜率=0)

至於為什麼會這樣,則看此: http://home.gamer.com.tw/creationDetail.php?sn=173248604-04 15:23
幻想龍星
樓上那應該是微分吧 XDD 次方-1 在把系數 乘上次方-1
我就是那個只會次方+1在除的
代換積分幾乎看不懂Q口Q ...

04-04 15:16

解凍豬腳
如果像這樣的話僅會基本公式
可能只能完成10%的題目04-04 15:24
洨謎謎<3
對窩就像是ㄋㄑ讀易經一樣ㄅ

04-04 16:32

解凍豬腳
液精ㄏ04-04 16:38
神月
這有點扯......
很難相信你才高中囧

04-05 18:00

解凍豬腳
不要這樣
我班上也有同學國二就在修微積分的04-05 18:10
喔喔~熱狗
有學過 知道如何證明 但是 我直接代公式了@@

04-07 20:22

解凍豬腳
是覺得就算會代,也要知道一下為什麼04-07 23:12

先收藏 下下禮拜考試 這必須細細地讀!

04-10 00:09

解凍豬腳
好的!
我這只是最基本的概念講解而已
如果看懂了就去多練習題目
加油04-10 20:14
九陰真精-羅曼蒂克
積分阿...有夠煩的,還好我全忘光了[e12]

04-16 21:53

解凍豬腳
我覺得三角函數的微積分比較麻煩[e9]04-17 19:09
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